جمع بندی مطالب مربوط به معادلات درجه دوم –پایه دهم

معادله درجه دوم چیست ؟چگونه حل می شود؟

معادله درجه دوم در واقع معادله ای با فرم :

[math] a{x^2} + bx + c = 0 [/math]

که در آن   [math] a \ne 0 [/math] و a,b,c در واقع اعدادی حقیقی هستند مثل :

[math] 2{x^2} + 4x + 1 = 0 \\\sqrt 2 {x^2} – \frac{4}{3}x + 1 = 0 \ne 0[/math]

روشهای حل معادله درجه دوم چیست ؟

برای حل معادله درجه دوم معمولا ما از روشهای زیر استفاده می کنیم

الف ) روش تجزیه

برای حل معادله درجه دوم به روش تجزیه ما از سه روش زیر استفاده می کنیم

1-روش فاکتور گیری :

[math] a{x^2} + bx = x(ax + b)[/math]

2-روش اتحاد مزدوج:

[math] x{}^2 – {a^2} = (x – a)(x + a)[/math]

3-روش اتجاد جمله مشترک:

[math] {x^2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)[/math]

در روش تجزیه معادله درجه دوم ، پس از انجام تجزیه معادله درجه دوم تبدیل می شود به حاصلضرب دو چند جمله ای درجه یک که مساوی صفر است .و حالا هر کدام از این چند جمله ای درجه یک را مساوی صفر قرار می دهیم و ریشه را بدست می آوریم .

ب)روش ریشه گیری

اگر در معادله درجه دوم [math] a{x^2} + bx + c = 0[/math] ، مقدار b برابر صفر باشد یعنی معادله به فرم [math] a{x^2} + c = 0[/math] باشد و همچنین a,c متحد العلامه نباشند ، یعنی مثلا یکیشون منفی و دیگری مثبت باشد آنگاه می توانیم با روش ریشه گیری معادله را حل کنیم در واقع بصورت زیر خواهیم داشت که :

[math]\left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + c = 0 \\ac < 0 \\\end{array} \right\} \to a{x^2} = c \to {x^2} = – \frac{c}{a} \to x = \pm \sqrt { – \frac{c}{a}} \\[/math]

دقت کنید در تساوی بالا چون a,c متحد العلامه نیستند برای همین زیر رادیکال منفی نخواهد شد ، چون ممکن است منفی عدد c یا منفی عدد a در منفی موجود زیر رادیکال ضرب خواهد شد و نتیجه زیر رادیکال مثبت خواهد شد.

یک روش دیگر به این صورت است که باید بتوانیم معادله درجه دوم را به یک اتحاد مربع تبدیل کنیم که برابر صفر یا برابر یک مربع دیگر باشد و سپس از هر دو طرف جذر می گیریم در واقع هر گاه [math]a[/math] یک عدد حقیقی مثبت باشد ، ریشه های معادله درجه دوم    [math] {x^2} = a[/math] عبارتند از :

[math]{x^2} = a \to \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt a \\x = – \sqrt a \\\end{array} \right\} \\[/math]

 

ج)روش مربع کامل

برای معادله درجه دوم [math] a{x^2} + bx + c = 0[/math] مراحل زیر را طی می کنیم :

الف)عدد ثابت را به طرف دوم معادله می بریم :

[math] a{x^2} + bx = – c[/math]

ب)با اضافه کردن عددی مناسب به هر دو طرف تساوی ، یک مربع دو جمله ای می سازیم ،توجه کنید که در طرف دیگر معادله حتما یک عدد ثابت می ماند:

[math] a{x^2} + bx + q = – c + q[/math]

ج)در مرحله آخر از دو طرف تساوی ریشه دوم می گیریم ، در واقع این مرحله را به کمک روش ریشه گیری حل می کنیم.

د)روش کلی یا همان روش فرمول دلتا

طبق قراردادی ریاضی [math] \Delta = {b^2} – 4ac[/math]

پس ریشه های بالا را می توانیم بصورت زیر بر حسب دلتا بنویسیم:

[math]{x_1} = \frac{{-b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \\{x_2} = \frac{{-b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \\\Delta = {b^2} – 4ac \\[/math]

سهمی

1-سهمی –بدست آوردن راس سهمی

تعریف سهمی :نمودار هر معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]  که در آن [math]a,b,c[/math] اعداد حقیقی هستند و [math] a \ne 0[/math]  است .یک سهمی می گوییم که به یکی از دو صورت زیر می باشد :

نتیجه گیری اولیه این است که اگر معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]   به ما داده شده باشد اول از همه باید مقدار a را بررسی کنیم:

1-اگر   a>0آنگاه دهانه سهمی رو به بالا است و راس سهمی در پایین و مینیمم است.

2-اگر a<0 آنگاه دهانه سهمی رو به پایین است و راس سهمی در بالا و ماکزیمم است .

2-راس سهمی چه نقطه ای است؟ چگونه بدست می آید ؟

راس سهمی در معادله  [math] y = a{x^2} + bx + c [/math] دارای مختصات زیر است:

[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right)[/math]

و خط  [math] x =  – \frac{b}{{2a}}[/math]  محور تقارن سهمی است .

3-محل برخورد سهمی با محورها

نقطه (0,c)  مختصات محل برخورد سهمی با محور y ها است.

محل برخورد سهمی با محور x ها (محور طول ها)

اینجا ما باید [math]y=0[/math] و سپس [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]  را حل می کنیم.

خوب اینجا باید بر اساس دلتا معادله تحلیل کنیم .می دانیم که در معادله درجه دو دلتا :

[math] \Delta  = {b^2} – 4ac[/math]

سه حالت داریم:

حالت اول : [math] \Delta  > 0[/math]  اینجا می دانیم که معادله دارای دو ریشه است یعنی دو جواب دارد ، پس سهمی در دو نقطه ، محور x  را قطع می کند .

که همین هم دو حالت دیگه دارد

الف)اگر a>0 دهانه سهمی رو به بالا است و سهمی دارای مینیمم است.

ب)اگر a<0  دهانه سهمی رو به پایین است و سهمی دارای ماکزیمم است.

حالت دوم :اگر دلتا برابر صفر باشد [math] \Delta  = 0[/math]  فهمیدیم که معادله دارای یک ریشه مضاعف بود که این ریشه در یک نقطه بر محور x ها مماس است.

حالت سوم : [math] \Delta  < 0[/math] معادله دارای جواب نیست ، یعنی سهمی محور x ها را قطع نمی کند .

 

4-رسم سهمی

برای رسم سهمی باید مراحل زیر را انجام دهیم که در واقع در مقالات قبلی ما به تفصیل ان را توضیح دادیم :

1-دهانه و جهت سهمی به کدام سمت است ؟

با استفاده از علامت a در معادله می توان جهت سهمی را مشخص کرد

2-راس سهمی چه نقطه ای است؟

مختصات راس سهمی بصورت زیر است :

[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right)[/math]

3-سهمی در چه نقطه ای با محور x ها و در چه نقطه ای با محور y ها متقاطع است؟

الف)محل برخورد سهمی با محور y ها کافیست در معادله به جای x صفر قرار دهیم تا نقطه (0,c) بدست آید.

ب)برای بدست آوردن نقاط برخورد سهمی با محور x ها باید معادله را مساوی صفر قرار دهیم و جواب آن را بدست آوریم .

 

تعیین علامت

1-تعیین علامت چند جمله ای درجه اول

هر گاه عبارت [math]ax+b[/math] داده شده باشد ، ابتدا عبارت را مساوی صفر قرار می دهیم و ریشه معادله را حساب می کنیم :

[math] ax + b = 0 \to ax =  – b \to x =  – \frac{b}{a}[/math]

اکنون برای تعیین علامت از جدول زیر استفاده می کنیم:

2-تعیین علامت چند جمله ای درجه دوم

فرض کنید [math] a{x^2} + bx + c[/math]  یک چند جمله ای درجه دوم باشد. با استفاده از دلتا می توان سه حالت برای تعیین علامت درجه دوم در نظر گرفت :

1-اگر [math] \Delta  > 0[/math]  در این حالت معادله ما دارای دو ریشه متمایز مانند[math] {x_1},{x_2}[/math]  و با فرض اینکه [math] {x_1}<{x_2}[/math]  داریم :

2-اگر [math] \Delta  = 0[/math]  در این حالت یک ریشه مضاعف دارد :

3-اگر [math] \Delta  < 0[/math]  در این حالت معادله ریشه ندارد و جدول تعیین علامت به ازای تمام مقادیر موافق علامت a خواهد بود .