معادله درجه دوم چیست ؟ مقدمه
معادله درجه دوم
در بخش های قبل ما در مورد چند جمله ایها و درجه های آنها صحبت کردیم ،در این مبحث می خواهیم در مورد حالت خاصی از چند جمله ایها بحث کنیم که بزرگترین توان آن عدد 2 است به تعبیری دیگر این چند جمله ای درجه دو است .
در واقع معادله درجه دوم نام دیگری را برای چند جمله ای از درجه 2 است. که 2 بالاترین توان است.حالا سوال ما این است که وقتی سخن از درجه دوم هست دقیقا با چه حالتها و مواردی برخورد می کنیم و کلا در مورد چند جمله ایها درجه دوم قراره به چه مباحثی بپردازیم ، ببیند برای چند جمله ای درجه دوم ما باید به سوالات زیر پاسخ دهیم:
1-تابع چند جمله ای درجه دوم با فرم زیر از کجا می آید :
[math] y = a{x^2} + bx + c \\ [/math]
2-معادله درجه دوم چیست ؟
معادله درجه دوم در واقع معادله ای با فرم :
[math] a{x^2} + bx + c = 0 [/math]
که در آن [math] a \ne 0 [/math] و a,b,c در واقع اعدادی حقیقی هستند مثل :
[math] 2{x^2} + 4x + 1 = 0 \\\sqrt 2 {x^2} – \frac{4}{3}x + 1 = 0 \ne 0[/math]
دقت کنید : نکته خیلی مهم این است که در معادله درجه دوم a نباید صفر شود ، اما مقادیر b,c می توانند صفر شوند .فرم های زیر معادلات درجه دوم هستند و به آن فرم ناقص معادله درجه دوم می گوییم:
[math]a{x^2} + bx = 0 \\ a{x^2} + c = 0 \\ a{x^2} = 0 \\[/math]
مثال : هر کدام از معادلات زیر درجه دوم است اما به این معادلات، معادلات درجه دوم با فرم ناقص می گوییم.
[math]{x^2} + 2 = 0 \\ 2{x^2} + 5x = 0 \\ 4{x^2} = 0 \\[/math]
پس تا اینجا فهمیدیم که فرم کامل معادله درجه دوم باید بصورت زیر باشد به شرط اینکه [math] a \ne 0 [/math]
3-منظور از ریشه های دوم و پیدا کردن ریشه های معادله درجه دوم چیست ؟
اینجا دقیقا منظور ما همان راههای حل معادله درجه دوم هست که در مقالات بعدی ، روشهای مختلف پیدا کردن ریشه های معادله درجه دوم را بررسی خواهیم کرد.
4-معادله درجه دوم دارای چند ریشه است ؟
ببینید معادله درجه دوم در صورت داشتن جواب ، همیشه دو ریشه دارد.
5-نمودار یک معادله درجه دوم را چه می نامند ؟
نمودار یک معادله درجه دوم را سهمی می نامند و دارای حالتی شبیه شکل زیر است .
6-روشهای حل معادله درجه دوم چیست ؟
برای حل معادله درجه دوم معمولا ما از روشهای زیر استفاده می کنیم
د)روش کلی یا همان روش فرمول دلتا
هر کدام از روشهای فوق را در مقاله ای جداگانه به تفصیل توضیح خواهیم داد.
مطلب را با این نکته به پایان می رسانم که هر وقت چند جمله ای درجه دوم داشتیم ، باید حتما قبل از حل این چند جمله ای آن را به فرم استاندار معادله درجه دوم تبدیل کنیم و سپس بقیه مراحل را طی کنیم .در مثالهای زیر ما چند جمله ایهایی داریم از درجه 2 که باید با تغییرات و جابجایی انها را تبدیل به معادلات درجه دوم بکنیم.
[math] {x^2} = 3x – 1 \\ [/math]
چند جمله ای بالا یک چند جمله ای درجه 2 است ، اما هنوز به فرم استاندار معادله درجه 2 نیست پس باید به روش زیر عمل کنیم:
[math] {x^2} = 3x – 1 \Rightarrow {x^2} – 3x + 1 = 0 \\ [/math]
اکنون با جابجایی که انجام دادیم ، چند جمله ای ما تبدیل شد به یک معادله درجه دوم استاندارد ، حالا از این به بعد می توانیم آن را حل کنیم.
مثال دیگر :
[math] 2({x^2} – 2x) = 5 \\ [/math]
باز اینجا باید جابجایی انجام بدیم تا تبدیل شود به معادله درجه 2 استاندارد
[math]2({x^2} – 2x) = 5 \Rightarrow 2{x^2} – 4x = 5 \\ \\ 2{x^2} – 4x – 5 = 0 \\[/math]
و سرانجام مثال آخر :
[math]x(x – 1) = 3 \\ \\ x(x – 1) = 3 \Rightarrow {x^2} – x = 3 \Rightarrow {x^2} – x – 3 = 0 \\[/math]
سوال داده شده | تبدیل می شود به فرم زیر | مقدار عددهای معادله درجه دوم استاندارد |
[math] {x^2} = 3x – 1 \\ [/math]
|
[math] {x^2} = 3x – 1 \Rightarrow {x^2} – 3x + 1 = 0 \\ [/math]
|
a=1, b=−3, c=1 |
[math] 2({x^2} – 2x) = 5 \\ [/math]
|
[math] 2{x^2} – 4x – 5 = 0[/math] | a=2, b=−4, c=−5 |
[math] x(x – 1) = 3 \\ [/math] | [math] {x^2} – x – 3 = 0[/math] | a=1, b=−1, c=−3 |
ما در این مطلب نگاهی کوتاه و سریع به معادله درجه دوم داشتیم و مفاهیم اولیه آن را ذکر کردیم ، یادتان باشد هر وقت سه جمله ای درجه 2 داشته باشید ، برای اینکه بتوانید آن را با روش های معادله درجه دوم حل کنید ، حتما باید مانند مثالهای بالا ابتدا به فرم استاندارد معادله درجه دوم تبدیل کنید.در مقالات بعدی به تفصیل روشهای حل معادلات درجه دوم را توضیح خواهیم داد .