تعیین علامت چند جمله ای درجه اول
منظور از تعیین علامت عبارت جبری این است که مشخص کنیم این عبارت جبری به ازای چه مقادیری از x مثبت ،به ازای چه مقادیری صفر و به ازای چه مقادیری منفی می شود.
می دانیم که عبارت [math]ax+b[/math] یک عبارت درجه اول می باشد .ما در بخشهای قبل به روش نقطه یابی نمودار این معادله که بصورت خط راست بود را توضحی دادیم .در ین بخش می خواهیم از زاویه ای دیگر به این معادله نگاه کنیم . یعنی در واقع می خواهیم بدانیم هر گاه ریشه این معادله را حساب کنیم آنگاه متغیر x به ازای مقادیر بیشتر یا کمتر از ریشه ، چه رفتاری دارد ؟ در چه بازه هایی منفی و یا مثبت می شود .برای همین بحث تعیین علامت را بررسی خواهیم کرد . بحث را با یک مثال پیش می بریم.
نمودار خط [math]y=2x-6[/math] را در نظر بگیرید .اکنون میخواهیم با استفاده از روش نقطه یابی که در بخشهای قبل آموزش دادیم معادله خط را بررسی کنیم . من ابتدا ریشه معادله را حساب می کنم و سپس نقاط اطراف ریشه را مورد تحلیل قرار می دهیم.
[math] 2x – 6 = 0 \to 2x = 6 \to x = 3[/math]
F | E | O | C | B | A | |
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | x |
4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | y=2x-6 |
خوب اکنون که با استفاده از روش نقطه یابی معادله خط را مطابق شکل بالا بدست آوردیم.می خواهیم این جدول را تحلیل کنیم دیدید که ما ابتدا ریشه معادله [math]2x-6[/math] را بدست اوردیم.اکنون جدول بالا را با اضافه کردن سطری جدید بصورت زیر باز نویسی می کنیم.
[math]x>3[/math] | [math]x<3[/math] | |||||
F | E | O | C | B | A | |
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | x |
4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | y=2x-6 |
مثبت | مثبت | صفر –ریشه معادله | منفی | منفی | منفی | علامت y |
همانطور که می بینید به ازای اعداد کوچکتر از ریشه معادله (عدد 3 ریشه معادله است) ما اعداد منفی بدست آوردیم و اگر در شکل نمودار هم دقت کنید می بیند که به ازای [math]x<3[/math] خط ما در واقع مقدار y خط ما مقادیر منفی می گیرد . همچنین به ازای [math]x>3[/math] مقادیر y طبق جدول و شکل نمودار بالا مثبت می شوند.
[math]x>3[/math] | [math]x<3[/math] | ||
3 | x | ||
0 | y=2x-6 | ||
مثبت
|
صفر –ریشه معادله | منفی
|
علامت y |
حال همین مثال را با با منفی کردن ضریب x و تغییراتی دیگر دوباره بررسی می کنیم. در واقع ما می خواهیم نمودار معادله [math]y=-2x+6[/math] را بررسی کنیم .
[math] – 2x + 6 = 0 \to – 2x = – 6 \to x = 3[/math]
ریشه این معادله با معادله قبلی که توضیح دادیم یکسان است . اما ضریب x اینجا منفی است . حالا مانند مثال قبل دوباره معادله را در اطراف ریشه آن نقطه یابی می کنیم.
F | E | O | C | B | A | |
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | x |
-4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | y=-2x+6 |
خوب اکنون که با استفاده از روش نقطه یابی معادله خط را مطابق شکل بالا بدست آوردیم.می خواهیم این جدول را تحلیل کنیم دیدید که ما ابتدا ریشه معادله [math]-2x+6[/math] را بدست اوردیم.اکنون جدول بالا را با اضافه کردن سطری جدید بصورت زیر باز نویسی می کنیم.
[math]x>3[/math] | [math]x<3[/math] | |||||
F | E | O | C | B | A | |
5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | x |
-4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | y=2x-6 |
منفی | منفی | صفر –ریشه معادله | مثبت | مثبت | مثبت | علامت y |
همانطور که می بینید به ازای اعداد کوچکتر از ریشه معادله (عدد 3 ریشه معادله است) ما اعداد منفی بدست آوردیم و اگر در شکل نمودار هم دقت کنید می بیند که به ازای [math]x<3[/math] خط ما در واقع مقدار y خط ما مقادیر مثبت می گیرد . همچنین به ازای [math]x>3[/math] مقادیر y طبق جدول و شکل نمودار بالا منفی می شوند.
[math]x>3[/math] | [math]x<3[/math] | ||
3 | x | ||
0 | y=-2x+6 | ||
مثبت
|
صفر –ریشه معادله | منفی
|
علامت y |
اگر دقت کنید عددی که ضریب x در دو معادله بالا بود.نقش مهمی در جدول تعیین علامت ایفا می کند.
1-به ازای x ها کوچکتر از ریشه نتیجه ما اعدادی مخالف علامت ضریب x
2- به ازای x ها بزرگتر از ریشه نتیجه ما اعدادی موافق علامت ضریب x
پس می توان گفت که :
هر گاه عبارت [math]ax+b[/math] داده شده باشد ، ابتدا عبارت را مساوی صفر قرار می دهیم و ریشه معادله را حساب می کنیم :
[math] ax + b = 0 \to ax = – b \to x = – \frac{b}{a}[/math]
اکنون برای تعیین علامت از جدول زیر استفاده می کنیم:
مثال :عبارت [math]5x-2[/math] را تعیین علامت کنید.
[math] 5x – 2 = 0 \to 5x = 2 \to x = \frac{2}{5}[/math]
تعیین علامت عبارت های کسری به فرم [math] \frac{{ax + b}}{{cx + d}}[/math] یا ضرب به صورت [math] (ax + b)(cx + d)[/math]
برای این کار فرقی نمی کنه چه کسری و چه ضربی در هر دو حالت مراحل زیر را انجام می دهیم:
1-ابتدا ریشه های هر کدام از معادله های درجه اول را حساب می کنیم.
2-یک جدول تعیین علامت می کشیم و سپس ریشه ها را به ترتیب از چپ به راست به صورت صعودی می نویسیم.
3-هر عبارت را در ردیفی می نویسیم و آن را تعیین علامت می کنیم.
4-عبارت کل را در ردیف آخر جدول می نویسیم.
5-با ضرب علامت های هر ستون در همدیگر ،عبارت نهایی را تعیین علامت می کنیم.
دقت کنید که ریشه های مخرج نباید صفر باشد.چون اگر مخرج صفر شود عبارت تعریف نشده خواهد بود.
مثال1:عبارت کسری [math] \frac{{x – 1}}{{5 – 2x}}[/math] را تعیین علامت کنید.
ابتدا ریشه های صورت و مخرج را جدا گانه حساب می کنیم.
[math]x – 1 = 0 \to x = 1\\\\5 – 2x = 0 \to x = \frac{5}{2}[/math]
2-ریشه های را به ترتیب و صعودی از چپ به راست می نویسیم.
در جدول بالا می بینیم که ریشه ها را چگونه نوشتیم و در هر ردیف هر معادله درجه یک را جداگانه تعیین علامت کردیم ، اکنون باید در ردیف آخر جدول کل عبارت کسری را تعیین علامت بکنیم .برای این کار علامت های هر ستون را در هم ضرب می کنیم تا نعیین علامت نهایی بدست آید مثلا منفی در منفی تبدیل می شود به مثبت و همچنین ضرب مثبت در منفی می شود منفی پس :
جدول بالا را ببینید ، فلاش سبز رنگ در جدول بالا نشان می دهد که چگونه علامت های هر ستون در هم ضرب می شوند تا علامت ردیف آخر بدست می آید .مثلا در ستون اول منفی در منفی ضرب می شود و نتیجه علامت مثبت می شود.
در نهایت باید ریشه ای صفر کننده را هم مشخص کنیم ، ببیند در شکل بالا ما تا اینجا فقط عبارت نهایی را تعیین علامت کردیم ، حالا باید رفتار ریشه ها را هم مشخص کنیم.
به ازای x=1 چون صورت کسر برابر صفر می شود پس کل عبارت ما هم صفر خواهد شد . اما به ازای مقدار[math]x = \frac{5}{2}[/math] مخرج صفر می شود پس عبارت مت تعریف نشده خواهد شد . با این حساب جدول نهایی تعیین علامت ما به شکل زیر خواهد شد.
مثال 2:عبارت [math](3x+1)(x-2)[/math] را تعیین علامت کنید.
ابتدا ریشه ها را حساب می کنیم و سپس تعیین علامت می کنیم . دقت کنید چون اینجا ضرب است پس ریشه های هر دو معادله درجه یک ، معادله نهایی را صفر می کند .
[math]3x + 1 = 0 \to 3x = – 1 \to x = – \frac{1}{3}\\\\x – 2 = 0 \to x = 2\\[/math]
اکنون جدول تعیین علامت عبارت بالا را بدست می آوریم.