حل نامعادله درجه دوم
حل نامعادله درجه دوم
ما در بخش قبلی در مورد نامعادله های درجه یک صحبت کردیم . اکنون می خواهیم در مورد نامعادله های درجه دوم توضیح دهیم .
می دانیم که معادله درجه دوم به فرم [math] a{x^2} + bx + c[/math] است. ما تا اینجا اکثرا با فرمت معادله درجه دوم مساوی صفر [math] a{x^2} + bx + c=0[/math] ، اما ما همیشه با این فرم مواجه نیستیم ، بلکه برخی اوقات با فرمی مواج می شویم که معادله برابر صفر نیست ، بلکه یک نامعادله به یکی از صورتهای زیر است :
[math]a{x^2} + bx + c < 0\\a{x^2} + bx + c \le 0\\a{x^2} + bx + c > \\a{x^2} + bx + c \ge 0[/math]
خوب اگر با چنین نامعادله درجه دومی مواجه باشیم :
1-ابتدا باید خود عبارت درجه دوم را تعیین علامت کنیم.
2-با توجه با علامت نامساوی ، جواب نامعادله را و مقادیر مناسب x را پیدا می کنیم.
برای فهم بهتر ، چند مثالی را با هم بررسی می کنیم .
مثال 1: نامعادله [math] {x^2} – 2x – 3 < 0[/math] را حل کنید.
من سعی می کنم در حل این مثال توضیحات و نکات مفصلی را بیان کنم که بعدها در ادامه درس ،برای ما مفید خواهد بود . پس برای این کار ابتدا خود معادله را بررسی می کنم. ابتدا دلتا را محاسبه می کنم و سپس ریشه های معادله را بدست می آوریم .
[math]{x^2} – 2x – 3 = 0\\a = 1,b = – 2,c = – 3\\\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 2)^2} – 4(1)( – 3) = 4 + 12 = 16[/math]
خوب اینجا دلتا بزرگتر از صفر بود . پس می توان دو ریشه برای این معادله بدست آورد.
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 2) + \sqrt {16}} }{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\\
{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{- ( – 2) – \sqrt {16} }}{2} = \frac{{2 – 4}}{2}
[/math]
خوب اکنون که ریشه ها را حساب کردیم ، حالا باید تعیین علامت کنیم.
و با توجه به شکل سهمی
این نامعادله در بین دو ریشه کوچکتر از صفر است در واقع مجموعه جواب ما [math]-1<x<3[/math] است. و در این بازه نمودار سهمی زیر محور x ها است .و y ها در این بازه منفی می شوند .
حل یک نامعادله درجه دوم زیاد سخت نیست ، شبیه همان معادلات درجه دوم است ، با این تفاوت که اینجا شما بازه جواب را فقط باید مشخص کنیم . اما گاهی با نامعادله هایی مواجه می شویم که پس از حل آنها به نامعادلات درجه دوم تبدیل می شوند .
حل نامعادلات قابل تبدیل به نامعادله درجه دوم :
گاهی به نامعادله هایی مواجه می شویم که برای حل آنها
1-ابتدا باید جابجایی هایی انجام دهیم .روش کلی به این صورت است که همه جمله ها را به سمت چپ نامساوی انتقال می دهیم تا سمت راست فقط صفر بماند .
2-سپس عبارت سمت چپ را تا حد امکان تجزیه می کنیم تا تبدیل به عاملهای درجه یک و درجه دو شود.
3-عبارت سمت چپ را تعیین علامت می کنیم. و بر اساس نامساوی که در نامعادله داریم ، مجموعه جواب را از جدول تعیین علامت بدست می آوریم.
مثال : نامعادله [math] \frac{{x – 1}}{x} < \frac{{3x + 3}}{{x + 1}}[/math] را حل کنید.
ابتدا مطابق بند 1 که در بالا توضیح دادیم ، همه جمله ها را به سمت چپ نامساوی انتقال می دهیم.
[math] \frac{{x – 1}}{x} – \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} < 0[/math]
اکنون طبق بند 2 ذکر شده در بالا ، عبارت سمت چپ را تا حد امکان ابتدا مخرج مشترک می گیریم و سپس تجزیه به عاملهای درجه یک و دوم می کنیم.
[math]\frac{{x – 1}}{x} – \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} < 0 \Rightarrow \frac{{(x – 1)(x + 1) – x(3x + 3)}}{{x(x + 1)}} < 0\\\\\frac{{{x^2} – 1 – 3{x^2} – 3x}}{{x(x + 1)}} < 0 \Rightarrow \frac{{ – 2{x^2} – 3x – 1}}{{x(x + 1)}} < 0[/math]
حالا باید تعیین علامت کنیم.
ریشه های صورت و مخرج را بدست می آوریم :
[math]- 2{x^2} – 3x – 1 = 0 \Rightarrow {x_1} = – 1,{x_2} = – \frac{1}{2}\\x(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0,x = – 1[/math]
با توجه به جدول تعیین علامتی که در بالا مشخص کردیم مجموعه جواب ما ، محدوده هایی است که نامعادله ما منفی می شود.پس از اجتماع تمام ناحیه هایی که منفی شده ، مجموعه جواب ما بدست می آید .
[math]\left( { – \infty , – 1} \right) \cup \left( { – 1, – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)\\(x < 1) \cup \left( { – 1 < x < – \frac{1}{2}} \right) \cup (x > 0)[/math]
سلام وقت بخیر
در تعیین علامت جدول بر چه اساسی مثبت و منفی میشوند؟