حل معادله درجه دوم به روش کلی (روش دلتا)
می دانیم که فرم کلی معادله درجه دوم بصورت[math] a{x^2} + bx + c = 0 [/math] می باشد. و گفتیم که [math] a \ne 0[/math] می خواهیم یک فرمول کلی برای پیدا کردن جواب های این معادله پیدا کنیم که در همه احوال بتوانیم سریع و راحت جواب معادله را پیدا کنیم ،خوب با توجه به روش مربع کامل که در بخش قبل خواندیم ما در دوطرف معادله درجه دوم را بر a تقسیم می کنیم:
[math] a{x^2} + bx + c = 0 \to {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0[/math]
ما در واقع با استفاده از روش مربع کامل می خواهیم فرمولی پیدا کنیم ،پس براساس روش مربع کامل گام به گام معادله را حل می کنیم
گام اول :عدد ثابت را به طرف دیگر تساوی می بریم :
[math] {x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}[/math]
گام دوم :به هر دو طرف مقادیری اضافه می کنیم تا تبدیل به مربع کامل شوند .
[math] {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = – \frac{c}{a} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}[/math]
طرف اول تساوی براحتی تبدیل به اتحاد می شود و در طرف دیگر مخرج مشترک می گیریم :
[math] {(x + \frac{b}{{2a}})^2} = – \frac{c}{a} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}[/math]
بنابر این ریشه های معادله برابر خواهند بود با :
[math](x + \frac{b}{{2a}}) = \pm \sqrt {\frac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}} \\\\x = – \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}} = \frac{{-b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}[/math]
در واقع ما دو ریشه بصورت زیر داریم :
[math]{x_1} = \frac{{-b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}} \\{x_2} = \frac{{-b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}} \\[/math]
ما برای سادگی ، و همچنین طبق قراردادی ریاضی [math] \Delta = {b^2} – 4ac[/math]
پس ریشه های بالا را می توانیم بصورت زیر بر حسب دلتا بنویسیم:
[math]{x_1} = \frac{{-b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \\{x_2} = \frac{{-b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \\\Delta = {b^2} – 4ac \\[/math]
دقت کنید که در برخی منابع به دلتا ، ((مبین)) گفته می شود.
مثال 1: معادله درجه دوم [math] 5{x^2} + 6x + 1 = 0[/math] را حل کنید.
برای حل این معادله ابتدا مقادیر a,b,c را مشخص می کنم و سپس مقدار دلتا را حساب می کنم :
[math]a = 5 \\b = 6 \\c = 1 \\\Delta = {b^2} – 4ac \Rightarrow {6^2} – 4(5)(1) = 36 – 20 = 16[/math]
اینجا مقدار دلتا 16 است و یک عدد بزرگتر از صفر است ، دلتا چون زیر رادیکال می رود همیشه باید یا صفر و یا بزرگتر از صفر باشد و نباید مقداری منفی شود . خوب حالا ریشه های معادله را حساب می کنیم :
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 6 + \sqrt {16} }}{{2 \times 5}} = \frac{{ – 6 + 4}}{{10}} = – \frac{2}{{10}} = – \frac{1}{5} \\\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 6 – \sqrt {16} }}{{2 \times 5}} = \frac{{ – 6 – 4}}{{10}} = – \frac{{10}}{{10}} = – 1 \\[/math]
خوب دیدیم که چگونه با استفاده از فرمول می توانیم ریشه های معادله درجه دوم را حساب کنیم ، اما اگر دقت کرده باشید ما در حل مثال گفتیم که مقدار دلتا که بزرگتر از صفر یا صفر یا کوچکتر از صفر بسیار مهم و تعیین کننده است . در واقع می توان گفت برای حل معادله درجه دوم به وسیله فرمول کلی ابتدا باید دلتا را بررسی کنیم و سپس جوابها را حساب کنیم :
1-اگر [math] \Delta > 0[/math] معادله ما دارای دو جواب متمایز خواهد بود ، مانند مثال بالا.
2-اگر [math] \Delta = 0[/math] معادله ما دارای یک جواب است .(یک ریشه مضاعف یا ریشه مکرر مرتبه دوم).
چرا ؟
پاسخ : اگر دلتا برابر صفر باشد ما می دانیم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} \\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} \\\Delta = 0 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – b + 0}}{{2a}} \\{x_2} = \frac{{ – b – 0}}{{2a}} \\\end{array} \right\} \to {x_1} = {x_1} = \frac{{ – b}}{{2a}} \\[/math]
پس اینجا فهمیدیم که اگر دلتا برابر صفر باشد معادله دارای جواب [math] \frac{{ – b}}{{2a}}[/math] خواهد بود
مثال : معادله [math] {x^2} – 10x + 25 = 0[/math] را حل کنید
برای حل این معادله ابتدا مقادیر a,b,c را مشخص می کنم و سپس مقدار دلتا را حساب می کنم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \\b = – 10 \\c = 25 \\\end{array} \right\} \to \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 10)^2} – 4(1)(25) = 100 – 100 = 0 \\[/math]
پس ریشه مضاعف داره که بصورت زیر است :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \\b = – 10 \\c = 25 \\\end{array} \right\} \to x{}_1 = {x_2} = \frac{{ – b}}{{2a}} = – \frac{{ – 10}}{2} = 5 \\[/math]
3-اگر [math] \Delta < 0[/math] معادله دارای جواب نیست (معادله ریشه حقیقی ندارد).