کاربرد مشتق 3-معادله خط مماس بر منحنی از نقطه ای خارج از منحنی

ما، در پست قبلی بررسی کردیم که چگونه می توان معادله خط مماس را برروی نقطه ای از منحنی بدست آورد . اما خط مماس الزاما ،همیشه از نقاط روی منحنی بدست نمی آید .ممکن است ما بخواهیم از نقطه ای خارج از منحنی خطی مماس بر منحنی داشته باشیم. خوب روش کار چگونه استا ؟

فرض می کنیم که نقطه (a,b)  خارج از منحنی (y=f(x  باشد و ما می خواهیم از این نقطه مماس بر منحنی (f(x  رسم کنیم .باید راهکار زیر را قدم به قدم انجام دهیم .

1-ابتدا فرض می کنیم که نقطه تماس با منحنی به طول α باشد آنگاه y برابر با (f(α خواهد بود . یعنی خط مماس ما باید از نقطه ای با مختصات  ((α,f(α)  بگذرد .معادله خط مماس در این نقطه بصورت زیر خواهد بود

(y- f(α)= f’(α)(x- α

2-اکنون باید مختصات نقطه مفرض ما همان   (a,b) را در معادله بالا قرار دهیم تا α بدست آوریم .

3-پس از محاسبه مقادیر α ، مختصات نقطه ((α,f(α) بدست می آید که این نقطه در واقع نقطه ای روی منحنی است . اکنون معادله مماس ما مشخص می شود.

مثال : از نقطه (2,-2)  مماسهایی بر منحنی [math]y=x^{2}-3x+1 [/math]  رسم کرده ایم مطلوبست معادله خطوط مماس بر منحنی .

[math]f(\alpha )=\alpha ^{2}-3\alpha +1[/math]

[math]f'(\alpha)=2\alpha -3 [/math]  شیب خط مماس

[math](\alpha ,\alpha ^{2}-3\alpha +1) [/math]نقطه تماس با منحنی

[math]y-(\alpha ^{2}-3\alpha +1 )=(2\alpha -3) (x-\alpha ) [/math]معادله خط مماس

نقطه  (2,-2 )    را باید در معادله بالا قرار دهیم تا مقدار آلفا بدست آوریم .

[math]-2-(\alpha ^{2}-3\alpha +1 )=(2\alpha -3) (2-\alpha )\Rightarrow \alpha ^{2}-4\alpha +3=0[/math]

[math]\alpha =1\Rightarrow (1,-1)\Rightarrow y-(1-3+1=(2-3)(x-1)[/math]

 [math]y=-x[/math]

[math]\alpha =3\Rightarrow (3,1)\Rightarrow y-(9-9+1=(6-3)(x-1)[/math]

[math]y=3x-8[/math]