حل معادله درجه دوم به روش تجزیه
حل معادله درجه دوم به روش تجزیه
پیشنهاد می کنم قبل از مطالعه این بخش حتما ، بخش اتحادها و تجزیه چند جمله ایها را مطالعه کنید ، زیرا دانستن این مباحث لازمه فهم این بخش است .
تمام نوشته های مربوط به بخش اتحادها و تجزیه
از بخش اتحادها و تجزیه ها دانستیم که یک چند جمله ای را می توان با استفاده از اتحادها تجزیه کرد ، از آنجایی که معادله درجه دوم سه جمله ای است که درجه آن دو می باشد، پس در بسیاری از مواقع می توان آن را تجزیه کرد و به صورت حاصل ضرب دو عبارت درجه یک در آورد و سپس به راحتی ریشه ها راحساب می کنیم .
برای حل معادله درجه دوم به روش تجزیه ما از سه روش زیر استفاده می کنیم
1-روش فاکتور گیری :
[math] a{x^2} + bx = x(ax + b)[/math]
2-روش اتحاد مزدوج:
[math] x{}^2 – {a^2} = (x – a)(x + a)[/math]
3-روش اتجاد جمله مشترک:
[math] {x^2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)[/math]
در روش تجزیه معادله درجه دوم ، پس از انجام تجزیه معادله درجه دوم تبدیل می شود به حاصلضرب دو چند جمله ای درجه یک که مساوی صفر است .و حالا هر کدام از این چند جمله ای درجه یک را مساوی صفر قرار می دهیم و ریشه را بدست می آوریم .
یادآوری :ببینید وقتی حاصلضرب دو عبارت برابر صفر باشد ، حداقل یکی از این عبارتها باید صفر باشد.یعنی :
با این مقدمه سه روش بالا را با ذکر مثالهایی توضی می دهیم.
1-روش فاکتور گیری :
[math] a{x^2} + bx = x(ax + b)[/math]
ما می دانیم که فرم کلی معادله درجه دوم بصورت زیر است :
حالا اگر در معادله بالا مقدار [math]c=0[/math] صفر باشد ، یعنی فرم معادله درجه دوم ما بصورت [math] a{x^2} + bx[/math] باشد آنگاه طبق مراحل زیر معادله را حل می کنیم .
1-ابتدا معادله را مساوی صفر قرار می دهیم :
[math] a{x^2} + bx=0[/math]
2- از x فاکتور می گیریم :
[math] a{x^2} + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0[/math]
3-هر کدام از عامل ها را برابر صفر قرار می دهیم و ریشه را بدست می آوریم دقت کنید در این حالت همیشه جواب [math]x=0[/math] را داریم:
[math]x(ax + b) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \\ax + b = 0 \to x = \frac{{ – b}}{a} \\\end{array} \right\} \\[/math]
مثال : معادلات درجه دوم زیر را حل کنید:
[math] 1)6{x^2} – 2x = 0 \\ [/math]
معادله بالا را می توان به راحتی با استفاده از فاکتور گیری تجزیه و سپس حل کرد
[math]6{x^2} – 2x = 0 \Rightarrow x(6x – 2) = 0 \\\\x(6x – 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \\6x – 2 = 0 \to 6x = 2 \to x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\\end{array} \right\} \\[/math]
[math] 2)4{x^2} = 6x [/math]
این فرم استاندارد نیست باید ابتدا ان را مساوی صفر قرار بدهیم سپس با استفاده از فاکتور گیری آن را حل کنیم
[math]4{x^2} = 6x \Rightarrow 4{x^2} – 6x = 0 \\\\4{x^2} – 6x = x(4x – 6) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \\4x – 6 = 0 \to 4x = 6 \to x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\\end{array} \right\} \\[/math]
2-روش اتحاد مزدوج:
[math] x{}^2 – {a^2} = (x – a)(x + a)[/math]
اگر در معادله درجه دوم ما که بصورت [math] a{x^2} + bx + c = 0 [/math] ضریب b برابر باشد و در واقع ما با حالتی خاص مواجه هستیم که بصورت تفاضل دو مربع باشد که یکی از این مربعها متغیری به توان 2 باشد در این حالت از روش اتحاد مزدوج استفاده می کنیم :
مثال حل می کنیم تا بهتر متوجه شوید
[math] {x^2} – 9 = 0 [/math]
معادله بالا یک معادله درجه دوم ناقص است چرا که در فرم کلی معادله درجه دوم ما b صفر است و این حالتی خاص از معادله درجه دوم است پس از آنجایی که ما توان متغیرمان عدد 2 است و از طرف دیگر ما با تفاضل دو مربع کامل مواجه هستیم پس با استفاده از اتحاد مزدوج می توانیم این معادله را حل کنیم
[math]{x^2} – 9 = 0 \to (x – 3)(x + 3) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x – 3 = 0 \to x = 3 \\x + 3 = 0 \to x = – 3 \\\end{array} \right\} \\[/math]
3-روش اتجاد جمله مشترک:
[math] {x^2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)[/math]
هر گاه عبارتی داشته باشیم که یک مربع داشته باشد و جمع دو عددی در جذر آن مربع ضرب شوند و سپس همین دو عدد بدون متغیر در هم ضرب شده باشند اینجا باید با استفاده از اتحاد جمله مشترک معادله را تجزیه و سپس جوابها را بدست اوریم.
مثال :
[math] 1){x^2} – 2x – 15 [/math]
در عبارت بالا ما یک مربع کامل داریم حالا باید دو عدد پیدا کنیم که جمعشان منفی 2 و ضربشان منفی 15 شود .
[math]- 2 = 3 – 5 \\15 = 3 \times ( – 5) \\[/math]
پس با توجه با جمع و ضرب های بالا معادله درجه دوم ما با استفاده از اتحاد جمله مشترک بصورت زیر تفکی خواهد شد
[math]{x^2} – 2x – 15 = 0 \to (x – 5)(x + 3) = 0 \\\left\{ \begin{array}{l}x – 5 = 0 \to x = 5 \\x + 3 = 0 \to x = – 3 \\\end{array} \right\} \\[/math]
مثال بعدی ، گاهی باید یکسری تغییرات روی معادله ایجاد کنیم تا بتوان آن را با کمک اتحاد جمله مشترک تجزیه کرد مثلا :
[math]3{x^2} – 5x + 2 = 0 \\[/math]
در نگاه اولیه ما می بینیم که این معادله را نمی توان با اتحاد جمله مشترک تجزیه کرد چون یک مربع کامل ندارد اما می توانیم با ضرب هر دو طرف معادله در 3 ، به یک مربع کامل برسیم:
[math] 3 \times (3{x^2} – 5x + 2) = 3 \times 0 \to 9{x^2} – 3(5x) + 3(2) = 0 [/math]
اکنون باز هم یه جابجایی در معادله بالا انجام دهم ، [math]3x[/math] اینجا جمله مشترک ما است پس:
[math] 9{x^2} – 3(5x) + 3(2) = 0 \to 9{x^2} – 5(3x) + 6 = 0 [/math]
پس حالا باید دو عدد پیدا کنیم که جمعشان منفی 5 و ضربشان مثبت 6 باشد :
[math]- 2 – 3 = – 2 \\( – 2) \times ( – 3) = 6 \\[/math]
پس معادله ما بصورت یر تجزیه خواهد شد :
[math]\left\{ \begin{array}{l}3x – 3 = 0 \to 3x = 3 \to x = 1 \\3x – 2 = 0 \to 3x = 2 \to x = \frac{2}{3} \\\end{array} \right\} \\[/math]