محل برخورد سهمی با محورها
در مطلب قبلی گفتیم که برای رسم یک سهمی اطلاعات زیر را باید پیدا کنیم :
1-دهانه و جهت سهمی به کدام سمت است ؟
3-سهمی در چه نقطه ای با محور x ها و در چه نقطه ای با محور y ها متقاطع است؟
در آن مقاله به دو سوال اول جواب دادیم ، اکنون در این مطلب می خواهیم به سوال سوم جواب بدهیم .
الف)محل برخورد سهمی با محور y ها (محور عرض ها)
می دانیم که هر نقطه روی محور y ها مختصات آن بصورت (0,y) می باشد . یعنی برای پیدا کردن نقاط روی محور y ها باید مقدار x را برابر صفر قرار دهیم.پس برای پیدا کردن محل برخورد سهمی معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] با محور y ها ، کافیست در معادله به جای x صفر قرار دهیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l} y = a{x^2} + bx + c \\ x = 0 \\ \end{array} \right\} \to y = a \times {(0)^2} + b \times 0 + c \to y = c[/math]
در واقع نقطه (0,c) مختصات محل برخورد سهمی با محور y ها است.
مثال 1:محل برخورد سهمی [math] y = {x^2} – 3x + 2[/math] با محور y ها را پیدا کنید.
[math]\left\{ \begin{array}{l} y = {x^2} – 3x + 2 \\ x = 0 \\ \end{array} \right\} \to y = 1 \times {(0)^2} + 1 \times 0 + 2 \to y = 2 \\[/math]
پس [math] \left( {0,2} \right) [/math]نقطه برخورد با محور y ها است.
مثال 2:محل برخورد سهمی [math] y = {(x + 1)^2} – 2 [/math] با محور y ها را پیدا کنید.
[math]\left\{ \begin{array}{l} y = {(x + 1)^2} – 2 \\ x = 0 \\ \end{array} \right\} \to y = {(0 + 1)^2} – 2 \to y = 1 – 2 = – 1[/math]
پس [math] \left( {0,-1} \right) [/math]نقطه برخورد با محور y ها است.
بدست آوردن محل برخورد سهمی با محور y ها کار ساده ای بود .کافی بود به جای x صفر قرار دهیم اما بدست آوردن محل برخورد سهمی با محور x ها پیچیده تر است.اینجا باید به جای y صفر قرار دهیم یعنی در واقع باید معادله درجه دو را برابر صفر قرار دهیم و حل کنیم.
نتیجه گیری :محل برخورد سهمی معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] با محور y ها ر واقع نقطه (0,c) مختصات محل برخورد سهمی با محور y ها است.
شکل های زیر این مساله را بسیار گویا نشان می دهند:
ب) محل برخورد سهمی با محور x ها (محور طول ها)
اینجا ما باید [math]y=0[/math] و سپس [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] را حل می کنیم.
خوب اینجا باید بر اساس دلتا معادله تحلیل کنیم .می دانیم که در معادله درجه دو دلتا :
[math] \Delta = {b^2} – 4ac[/math]
سه حالت داریم:
حالت اول : [math] \Delta > 0[/math] اینجا می دانیم که معادله دارای دو ریشه است یعنی دو جواب دارد ، پس سهمی در دو نقطه ، محور x را قطع می کند .
که همین هم دو حالت دیگه دارد
الف)اگر a>0 دهانه سهمی رو به بالا است و سهمی دارای مینیمم است.
ب)اگر a<0 دهانه سهمی رو به پایین است و سهمی دارای ماکزیمم است.
حالت سوم :اگر دلتا برابر صفر باشد [math] \Delta = 0[/math] فهمیدیم که معادله دارای یک ریشه مضاعف بود که این ریشه در یک نقطه بر محور x ها مماس است.
حالت سوم : [math] \Delta < 0[/math] معادله دارای جواب نیست ، یعنی سهمی محور x ها را قطع نمی کند .
مثال 1 را دوباره بررسی می کنیم محل برخورد سهمی [math] y = {x^2} – 3x + 2[/math] با محور x ها را پیدا کنید.
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 3)^2} – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1[/math]
چون دلتا بزرگتر از صفر است پس معادله دارای دو ریشه است ، از طرفی دیگر چون a>0 راس سهمی در پایین یعنی دهانه سهمی رو به بالا است .
اکنون ریشه های این معادله ،یعنی محل برخورد سهمی با محور x ها را محاسبه می کنیم:
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 3) + 1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \to (2,0) \\ {x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 3) – 1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \to (1,0) \\[/math]
این مثال در واقع همان مثال 1 است که ما در آنجا فهمیدیم که [math] \left( {0,2} \right) [/math]نقطه برخورد با محور y ها است. و اکنون فهمیدیم که نقاط [math] \left( {2,0} \right),\left( {1,0} \right)[/math] محل برخورد سهمی با محور x ها است.
اکنون مثال 2 را دوباره ببینید محل برخورد سهمی [math] y = {(x + 1)^2} – 2 [/math] با محور x ها را پیدا کنید.
[math]y = {(x + 1)^2} – 2 \\ {x^2} + 2x + 1 – 2 = {x^2} + 2x – 1 \\ \Delta = {b^2} – 4ac = {(2)^2} – 4(1)( – 1) = 4 + 4 = 8 \\ {x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 2 + \sqrt 8 }}{2} = \frac{{ – 2 + 2\sqrt 2 }}{2} = – 1 + \sqrt 2 \to ( – 1 + \sqrt 2 ,0) \\ {x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 2 – \sqrt 8 }}{2} = \frac{{ – 2 – 2\sqrt 2 }}{2} = – 1 – \sqrt 2 \to ( – 1 – \sqrt 2 ,0) \\ [/math]
سلام.
باتشکر از مطلب جامع و کامل شما
تابحال انقدر مفهومی این مبحث رو یاد نگرفته بودم.
اجرتون با آقا امام زمان
سلام ممنون از مطالب مفیدتون.
درود خدمت شماممنون از مطالب عالی شما واقعا کاربردی و مفهومی و ساده بسیاز متشکرم