نقاط مشتق ناپذیر-نقطه زاویه دار –نقطه بازگشت و مماس قائم
توابع مشتق ناپذیر را با توجه به نمودارشان می توان به چهار گروه تقسیم کرد:
1)توابع ناپیوسته :می دانیم که شرط لازم برای وجود مشتق در یک نقطه پیوستگی تابع در آن نقطه است،پس در نقاطی که تابع ،پیوسته نیست ،قطعا مشتق پذیر نخواهد بود.
نمودارهای زیر توابع ناپیوسته است :
در نمودار فوق در هر شکل نشان داده ایم که نمودار در [math]x=c[/math] پیوسته نیست لذا مشتق پذیر هم نیست .
2-توابعی که نمودار آنها شکستگی دارد.(نقطه زاویه دار)
یعنی اگر مماس چپ و مماس راست را بر منحنی رسم کنیم بین آنها یک زاویه ایجاد می شود.در واقع مماس چپ و راست تابع در یک امتداد نیستند.
در نقاط زاویه دار تابع پیوسته است اما مشتق چپ و راست هر کدام به تنهایی موجود و متناهی است اما با هم مساوی نیستند.این حالت را نقطه زاویه دار می گوییم
یادآوری : برای مشتق پذیر بودن یک تابع باید مشتق چپ و راست موجود و متناهی و با هم مساوی باشند.
مثال1:مشتق پذیری تابع [math]f(x)=|x-2|[/math] را در نقطه [math]x=2[/math] بررسی کنید.
ابتدا مشتق راست :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|x – 2| – 0}}{{x – 2}} = \frac{{x – 2}}{{x – 2}} = 1 [/math]
سپس مشتق چپ:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{|x – 2| – 0}}{{x – 2}} = \frac{{ – (x – 2)}}{{x – 2}} = – 1 [/math]
همانطور که می بینید مشتق راست عدد یک و مشتق چپ عدد منفی شد هر دو مشتق چپ و راست وجود دارند اما مساوی نیستند پس تابع ما در این نقطه مشتق پذیر نیست و اینجا ما نقطه زاویه دار خواهیم داشت .نمودار این تابع را درشکل زیر ببینید:
3-نقطه بازگشت :
این نقاط مشتق چپ و راست تابع هر دو بی نهایت ولی با علامت های مختلف می باشند و خط مماس بر نمودار تابع در این نقاط قابل ترسیم نیست.البته دو نیم مماس چپ و راست وجود دارد ولی داری شیب بی نهایت است و بر هم منطبق هستند یعنی هر دو مماس عمود بر محور x ها می باشند.
مشتق چپ و راست به یکی از دو صورت زیر خواهد بود :
|
[math] {{f’}_ + }(a) = + \infty \\{{f’}_ – }(a) = – \infty \\ [/math] |
[math] {{f’}_ + }(a) = – \infty \\{{f’}_ – }(a) = + \infty [/math] |
مثال2: نشان دهید نقطه [math]x=2[/math] برای تابع [math] f(x) = \sqrt {|x – 2|} [/math] یک نقطه بازگشتی است .
ابتدا مشتق چپ و راست را حساب می کنیم :
[math] {{f’}_ + }(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} = \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{x – 2}} [/math]
برای رفع ابهام صورت و مخرج را در مزدوج ضرب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{x – 2}} \times \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{\sqrt {|x – 2|} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{|x – 2|}}{{(x – 2).\sqrt {x – 2} }} = + \infty [/math]
اکنون مشتق چپ را حساب می کنیم :
[math] {{f’}_ – }(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} = \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{x – 2}} [/math]
برای رفع ابهام صورت و مخرج را در مزدوج ضرب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{x – 2}} \times \frac{{\sqrt {|x – 2|} }}{{\sqrt {|x – 2|} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – (x – 2)}}{{(x – 2).\sqrt { – (x – 2} )}} = – \infty [/math]
چون [math] {{f’}_ + }(2) = + \infty ,{{f’}_ – }(2) = – \infty [/math] پس این نقطه برای تابع نقطه بازگشتی است .نمودار تابع به صورت زیر است :
4-نقاطی که تابع دارای خط مماس قائم است .
در این نقاط خط مماس بر تابع عمود بر محور x هاست و موازی محور y ها است . به تعبیری در این نقاط مشتق چپ و راست تابع هر دو بی نهایت با علامت یکسان هستند:
|
[math] {{f’}_ + }(a) = + \infty \\{{f’}_ – }(a) = + \infty \\ [/math] |
[math] {{f’}_ + }(a) = – \infty \\{{f’}_ – }(a) = – \infty [/math] |
در واقع می توان گفت که اینجا مشتق تابع برابر بی نهایت است .نمودارهای آن به صورت زیر خواهد بود :
مثال 3:مشتق پذیر تابع [math] f(x) = \sqrt[3]{x} [/math] در نقطه [math]x=0[/math]
مشتق چپ و راست :
[math] {{f’}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = + \infty \\{{f’}_ – }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt[3]{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = + \infty [/math]
نمودار تابع
تمرین 1:تابع به معادله
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{x < 1}\\{\frac{2}{x}}&{x \ge 1}\end{array}} \right\} [/math]
مفروض است .آیا f در [math]x=1[/math] مشتق پذیر است ؟
پاسخ:
مشتق چپ و راست را حساب می کنیم
مشتق راست :
[math] {{f’}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{2}{x} – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 – 2x}}{{x(x – 1)}} = \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 2(x – 1)}}{{x(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 2}}{x} = – 2 [/math]
مشتق چپ:
[math] {{f’}_ – }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 1 – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{(x – 1)}} = \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1) = 2 [/math]
چون [math] {{f’}_ – }(1) \ne {{f’}_ + }(1) [/math] پس تابع در [math]x=1[/math] مشتق پذیر نیست.
در نقطه زاویه دار تابع در نقطه مورد نظر پیوسته است .اما مشتقات چپ و راست آن با هم برابر نیستند.
این تابع با توجه به شکل بالا در نقطه [math]x=1[/math] پیوسته نیست لذا با وجود اینکه مشتق چپ و راست موجود بود و مساوی نبودن اما نقطه زاویه دار ندارد بلکه می توان گفت به دلیل پیوسته نبودن در این نقطه هم می توان ثابت کرد که مشتق پذیر نیست .
تمرین 2: تابع به معادله
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x – 1}&{x \ge 4}\\{x – 3}&{x < 4}\end{array}} \right\} [/math]
مفروض است .آیا f در [math]x=4[/math] مشتق پذیر است ؟
اول ببینیم این تابع پیوسته است ؟ یا نه
حد چپ و راست تابع را حساب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x – 1 = \sqrt 4 – 1 = 2 – 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} (x – 3) = 4 – 3 = 1\\f(4) = \sqrt 4 – 1 = 2 – 1 = 1 [/math]
حد چپ وراست تابع با مقدار تابع در نقطه [math]x=4[/math] برابر شد پس تابع پیوسته است . اکنون برای مشتق پذیر بودن تابع باید مشتق چپ و راست را حساب کنیم:
مشتق راست:
[math] {{f’}_ + }(4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{f(x) – f(4)}}{{x – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x – 1 – 1}}{{x – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 4}} = \frac{0}{0} [/math]
رفع ابهام می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 4}} \times \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x – 4}}{{(x – 4)\sqrt x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{1}{4} [/math]
مشتق چپ:
[math] {{f’}_ – }(4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{f(x) – f(4)}}{{x – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{x – 3 – 1}}{{x – 4}} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{x – 4}}{{x – 4}} = 1 [/math]
خوب تابع پیوسته بود اما مشتق چپ و راست با هم برابر نبود پس تابع در[math]x=4[/math] مشتق پذیر نیست و این نقطه زاویه دار است. نمودار تابع را در زیر ببینید.
تمرین3:مشتق پذیری تابع [math] f(x) = \sqrt[3]{{x(x – 2)}} [/math] را در نقطه [math]x=2[/math] بررسی کنید.
[math] f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x(x – 2)}} – 0}}{{x – 2}} = \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x(x – 2)}}}}{{x – 2}} [/math]
برای رفع ابهام با استفاده از تبدیل و ساده کردن حل می کنیم
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x(x – 2)}}}}{{\sqrt[3]{{{{(x – 2)}^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\frac{{x(x – 2)}}{{{{(x – 2)}^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{{\frac{x}{{{{(x – 2)}^2}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{{{{(0)}^2}}}}} = + \infty [/math]
مشتق تابع برابر بی نهایت شد یعنی تابع در این نقطه دارای مماس قائم است و مشتق پذیر نیست.
خیلی خوب و کامل و بازبان ساده بود
ممنونم
خسته نباشید
ممنون ، منظم و مفید بود