آهنگ لحظه ای تغییر
ما اگر نمودار شادیها و ناراحتیهای یک عید نوروز را بخواهیم رسم کنیم ،ممکن است چنین نموداری داشته باشیم :
در نمودار بالا اعداد 1 تا 13 نشان دهنده روزهای عید نوروز است .مثلا 1 فروردین طبق نمودار ما خوشحال هستیم چون عید نوروز است و فضای شادی دارد .اگر به نمودار دقت کنید در لحظه آغاز ما شادی زیادی دارد ،طبیعی است که روز اول فروردین روز شادی باشد.در واقع آهنگ لحظه ای شادی ما در روز اول فروردین بسیار خوب است.اگر دقت کنیداین نمودار میزان شادیهای ما را در 13 روز فروردین نشان می دهد از لحظه تحویل سال که ما در اوج هیجان هستیم تا لحظه 2 فروردین طبق نمودار شادی ما در حال افزایش است.آهنگ لحظه ای شادی ما لحظه به لحظه در حال افزایش است.حالا ممکن این شادیها در هر روز و هر لحظه کم یا زیاد شود مثلا طبق نمودار می بینیم هر چه به روز 6 فروردین نزدیک می شویم شادیهای ما لحظه به لحظه در حال کاهش است.ممکنه به خاطر تمام شدن اولین دور سفر ما باشه .و ما در حال بازگشت به منزل باشیم و خیلی خسته باشیم برای همین آهنگ لحظه ای شادی ما در حال کاهش است .
((آهنگ متوسط تغییر ))
اکنون می خواهیم نمودار شادی و هیجان را در روز 13 فروردین به صورت ساعت به ساعت تحلیل کنیم:
طبق نمودار بالا ما از اول صبح هیجان رفتن به طبیعت داریم، وسایلمون رو جمع می کنیم و به طبیعت می رویم و هر لحظه بر میزان شادی ما افزوده می شود مثلا می بینیم از ساعت 13 به بعد آهنگ لحظه ای شادی ما لحظه به لحظه در حال افزایش است به ظوری که در ساعتهای 15 و 16 به اوج خودش می رسد .خوب طبیعیه دیگه تو اون موقعها معمولا دیگه جوجه ها هم آماده شده و حالا دارید میل می کنید خخخخخخ
اما اگر دقت کنید ساعتهای پایانی روز آهنگ لحظه ای شادی شما در حال کاهش است یعنی داریم فکر می کنیم دیگه فردا باید بریم مدرسه پس یک ضد حال است.اینجا آهنگ لحظه ای شادیهای ما در حال کاهش است.
اما به طور کلی اگر ابتدای نمودار را به انتهای نمودار وصل کنیم خطی خواهیم داشت که شیب آن صعودی و مثبت است .یعنی آهنگ متوسط تغییرات شادی ما مثبت است و ما در روز 13 فروردین به ظور متوسط شاد بودیم هر چند که ممکن است در بعضی ساعتها شادی ما کم شده باشد.
آهنگ متوسط تغییر ،در واقع میانگین تغییرات را بین دو نقطه نشان می دهد .
آهنگ لحظه ای تغییر ،میزان تغییر را در هر لحظه نشان می دهد.
آهنگ لحظه ای تغییر
اگر تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] مشتق پذیر باشد.در این صورت [math] f'(a) [/math] را آهنگ لحظه ای تغییر تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] می گوییم.
مثال 1:آهنگ لحظه ای تغییر تابع [math] f(x) = {x^2} + 2x [/math] در نقطه [math]x=2[/math] را بدست آورید.
ابتدا مشتق تابع f را بدست می آوریم و سپس با جایگذاری مقدار را حساب می کنیم:
[math] f(x) = {x^2} + 2x \to f'(x) = 2x + 2\\f'(2) = 2(2) + 2 = 6 [/math]
آهنگ لحظه ای تغییر تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] همان شیب خط مماس بر منحنی نمودار تابع [math]f[/math] در نقطه [math](a,f(a))[/math] است .
مثال 2:معادله حرکتی به صورت [math] f(t) = {t^2} – t + 10 [/math] بر حسب متر در بازه [math][0,5][/math] داده شده است . در کدام لحظه سرعت لحظه ای با سرعت متوسط در بازه [math][0,5][/math] با هم برابر است ؟
ابتدا مانند آهنگ متوسط تغییرات ،سرعت متوسط را در بازه [math][0,5][/math] بدست می آوریم .
[math] f(5) = {5^2} – 5 + 10 = 30\\f(0) = {0^2} – 0 + 10 = 10 [/math]
آهنگ متوسط تغییرات در این بازه به صورت زیر :
[math] \frac{{f(5) – f(5)}}{{5 – 0}} = \frac{{30 – 10}}{{5 – 0}} = 4 [/math]
برای سرعت لحظه ای در واقع آهنگ لحظه ای تغییر را داریم پس مشتق می گیریم:
[math] f(t) = {t^2} – t + 10 \to f'(t) = 2t – 1 [/math]
مشتق را برابر مقدار سرعت متوسط قرار می دهیم :
[math] f'(t) = 2t – 1 = 4 \Rightarrow 2t = 5 \to t = \frac{5}{2} = 2.5 [/math]
1-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt x [/math] ،آهنگ متوسط تغییر تابع ،از نقطه [math]x=4[/math] تا [math]x=6.25[/math] ، از آهنگ لحظه ای آن در نقطه [math]x=4[/math] ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{36}}\\2)\frac{1}{{18}}\\3)\frac{5}{{72}}\\4)\frac{1}{{12}}\\ [/math]
(کنکور سراسری تجربی خارج از کشور 1393)
2-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{{\sqrt x }} [/math]،آهنگ متوسط تغییر تابع نسبت به متغیر x ، در نقطه [math]x=1[/math] با نمو [math]0.44[/math] از آهنگ لحظه ای تابع در این نقطه ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{30}}\\2)\frac{1}{{21}}\\3)\frac{1}{{12}}\\4)\frac{1}{6}\\ [/math]
کنکور سراسری علوم تجربی خارج از کشور 1394
3-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt x [/math]، آهنگ متوسط تغییر تابع نسبت به متغیر x،در نقطه [math]x=1[/math] با نمو متغیر [math]0.21[/math]،از آهنگ لحظه ای تابع در این نقطه ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{42}}\\2)\frac{1}{{21}}\\3)\frac{3}{{42}}\\4)\frac{2}{{21}} [/math]
کنکور سراسری تجربی داخل 1394
4-در تابع با ضابطه [math] f(x) = (x + 2)\sqrt {4x + 1} [/math]،آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه [math][0,2][/math] از آهنگ تغییر لحظه ای آن در [math] x = \frac{3}{4} [/math] چقدر بیشتر است ؟
[math] 1)0.10\\2)0.15\\3)0.20\\4)0.25\\ [/math]
کنکور سراسری ریاضی 98-نظام جدید
5-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{x} [/math] اختلاف آهنگ تغییر لحظه ای در [math]x=2[/math] ، از آهنگ تغییر متوسط در بازه [math][1,4][/math] کدام است ؟
[math] 1)0.25\\2)0.5\\3)0.45\\4)0.75 [/math]
کنکور سراسری تجربی داخل -1398
6-حجم کره ای با آهنگ ثابت 3 سانتی متر مکعب در ثانیه افزایش دارد.در لحظظه ای که قطر کره 8 سانتی متر باشد،سطح کره چند سانتی مربع در ثانیه افزایش دارد؟
[math] 1)1.2\\2)1.25\\3)1.5\\4)1.6 [/math]
کنکور سراسری ریاضی -96