آهنگ متوسط تغییر
در ریاضیات ما سه مورد آهنگ داریم :
1-آهنگ
2-آهنگ متوسط تغییر
3-آهنگ لحظه ای تغییر
از نظر لغوی آهنگ معاد کلمه فارسی rate در زبان انگلیسی است که در متنهای فارسی rate را به معانی زیر ترجمه کرده اند :
1-نرخ
2-میزان
3-سرعت
شما حتما با عباراتی مانند زیر مواجه شده اید :
سرعت یک ماشین 70 کیلومتر بر ساعت است .
میزان مزد یک شخص 50هزار تومان در روز است .
نرخ رشد جمعیت کشور مثبت است.
این جملات به چه معناست ؟
اگر دقت کنید در همه این جملات سرعت-میزان-نرخ در واقع به یک مفهوم هستند.همه اینها مفهوم آهنگ را دارند.
آهنگ در ریاضیات چه معنایی دارد؟
آهنگ در ریاضیات از خارج قسمت دو کمیت از دو واحد مختلف بدست می آید .
مثلا می گوییم در یک روز از زمستان 198 سانتی متر در مدت 24 ساعت برف باریده است .
خوب در اینجا ما دوتا کمیت مختلف داریم:
یکی 195 سانتی متر و دیگری 24 ساعت است :
کسر بالا یعنی آهنگ ریزش برف 33 سانتی متر در 4 ساعت است .به عبارت دیگر در هر 4 ساعت 33 سانتی متر برف می بارد.
حالا اگر باز هم کسر بالا را ساده کنیم :
یعنی در هر ساعت (آهنگ یا سرعت )بارش برف برابر است با [math]8.25[/math] سانتی متر است.
پس با این مقدمه فهمیدیم که آهنگ یعنی مقایسه دو کمیت با یکدیگر است .
اکنون که مفهوم آهنگ رو فهمیدیم .می خواهیم بدانیم آهنگ تغییر یعنی چی ؟
اینجا ما دو واژه داریم یکی آهنگ که مفهومش را بیان کردیم و دیگری تغییر است. بزارید یک مثال بزنیم.
فرض کنید شهریور امسال قیمت نان 800 تومان باشد و در دی ماه قیمت آن 1000 تومان شود.خوب واضح است که :
[math]1000-800=200[/math]
میزان تغییر قیمت اینجا 200 تومان افزایش است .اما فرض کنید سال بعد در شهریور قیمت نان از 1000 کاهش پیدا کند و به 700 تومان برسد :
[math]700-1000=-300[/math]
اینجا یعنی 300 تومان کاهش خواهد یافت. در واقع می خواهیم بگوییم که تغییر هم می تواند مثبت و هم صفر و هم منفی باشد .
پس با این حساب ما تغییر را می توانیم به صورت زیر تعریف کنیم :
اگر دقت کنیم در تغییر ما تفاضل دو مقدار را بدست آوردیم .در زبان انگلیسی Difference به معنای تفاضل است .اول این کلمه را برای تغییر استفاده کرده اند.ولی به جای D از معادل یونانی آن یعنی دلتا [math] \Delta [/math] استفاده می کنند.
تغییر در تابع چگونه تعریف می شود؟
فرض کنید تابعی داشته باشیم از [math] R \to R [/math] به صورت [math]y=f(x)[/math] .همانطور که می دانیم در تابع با ضابطه [math]y=f(x)[/math] ما دو متغیر داریم .
متغیر x که مقادیر آن را ورودی و متغیر y که مقادیر آن خروجی می نامیم.
در شکل بالا تغییر در x از [math] {x_1} [/math]به [math] {x_2} [/math] به صورت زیر است :
[math] \Delta x = {x_2} – {x_1} [/math]
تغییر در [math]f[/math] از [math] {x_1} [/math]به [math] {x_2} [/math] به صورت زیر است :
[math] \Delta f = \Delta y = f({x_2}) – f({x_1}) = {y_2} – {y_1} [/math]
نمو تغییر یا نمو تابع :
اگر [math]y=f(x)[/math] تابعی با دامنه تعریف [math] {D_f} [/math] و [math] {x_1} [/math]و[math] {x_2} [/math] دو مقدار متمایز از [math] {D_f} [/math] باشد تفاضل
[math] \Delta x = {x_2} – {x_1} [/math]
را نمو متغیر و تفاضل
[math] \Delta f = \Delta y = f({x_2}) – f({x_1}) = {y_2} – {y_1} [/math]
نمو تابع نظیر [math] \Delta x [/math] می نامیم.
آهنگ متوسط تغییر:
دیدیم که آهنگ ،مقایسه دو کمیت است ،پس آهنگ تغییر مقایسه دو تغییر است .در تابع [math]y=f(x)[/math] وقتی مقدار x از [math] {x_1} [/math]به [math] {x_2} [/math] تغییر می کند مقدار تابع نیز از [math] f({x_1}) [/math] به [math] f({x_2}) [/math] تغییر خواهد کرد.
آهنگ متوسط تغییر به صورت زیر محاسبه می شود:
[math] \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}} [/math]
مثال1 :تابع [math] f(x) = x + \sqrt x [/math] داده شده است. مطلوبست آهنگ متوسط تغییر تابع از نقطه [math] {x_1} = 4 [/math] تا نقطه [math] {x_2} = 25 [/math]
[math] \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{f(25) – f(4)}}{{25 – 4}}\\= \frac{{30 – 6}}{{21}} = \frac{{24}}{{21}} = \frac{8}{7} [/math]
در فیلم بالا نمودار تابع و دو نقطه داده شده را مشاهده می کنید حالا این خط آبی رنگ این دو نقطه داده شده را به هم وصل می کند . و در واقع ما الان داریم شیب این خط آبی رنگی که این دو نقطه را به هم وصل کرده را محاسبه می کنیم و به عنوان آهنگ تغییر متوسط برای تابع در نظر می گیریم .
به طور کلی آهنگ متوسط تغییر تابعی مانند [math]y=f(x)[/math] نسبت به متغیر x هنگامی که متغیر روی بازه ای از [math] {x_1} [/math]به [math] {x_2} [/math] از دامنه تعریف تابع تغییر کند به صورت زیر تعریف می شود :
[math] \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}} [/math]
آهنگ متوسط تغییر یک کمیتی است که در یک دوره زمانی از تقسیم میزان تغییرات آن کمیت ،بر طول آن دوره زمانی بدست می آید .
آهنگ متوسط تغییر در مواردی از قبیل سرعت متوسط ،شیب خط مماسی بر منحنی به کار می رود که تعریف مشتق بر روی این دو مفهوم بنا شده است .
مثال 2:تابع با ضابطه [math] f(x) = {x^2} – 3x + 3 [/math] داده شده است ، آهنگ متوسط تغییر این تابع را وقتی که [math] {x_1} = 1 [/math] به [math] {x_2} = 2 [/math] تغییر می کند را حساب کنید.
[math] f(x) = {x^2} – 3x + 3\\{x_1} = 1 \Rightarrow f({x_1}) = f(1) = {1^2} – 3(1) + 3 = 1 – 3 + 3 = 1\\{x_2} = 2 \Rightarrow f({x_2}) = f(2) = {2^2} – 3(2) + 3 = 4 – 6 + 3 = 1\\\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{1 – 1}}{{2 – 1}} = \frac{0}{1} = 0 [/math]
آهنگ تغییر برابر صفر شد در واقع یعنی شیب خط بین دو نقطه [math] {x_1} = 1 [/math] به [math] {x_2} = 2 [/math] برابر صفر است :
در شکل بالا نمودار تابع را رسم کردیم و سپس از نقطه [math] {x_1} = 1 [/math] به [math] {x_2} = 2 [/math] خطی رسم می کنیم شیب این خط در واقع همان آهنگ متوسط تغییر در این فاصله است .از شکل واضح است که شیب خط صفر است و آهنگ تغییر متوسط نیز برابر صفر است .
مثال3:آهنگ متوسط تغییر تابع [math] f(x) = {x^2} [/math] را روی بازه [math] [1,1 + \frac{1}{n}] [/math] بدست آورید.
پاسخ می دانیم که آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه [math][a,b][/math] برابر است با :
[math] \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}} [/math]
پس :
[math] \frac{{f(1 + \frac{1}{n}) – f(1)}}{{1 + \frac{1}{n} – 1}} = \frac{{{{(1 + \frac{1}{n})}^2} – 1}}{{\frac{1}{n}}} = \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{n}}} = 2 + \frac{1}{n} [/math]
مثال 4: آهنگ متوسط تغییر تابع [math] f(x) = \sqrt {1 + x} [/math] در بازه [math][a,1][/math] برابر با [math] – \frac{1}{4} [/math] است مقدار a را بدست آورید.
پاسخ:
[math] \frac{{f(1) – f(a)}}{{1 – a}} = \frac{{0 – \sqrt {1 – a} }}{{1 – a}} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {1 – a} }} [/math]
برابر مقدار داده شده :
[math] \frac{{ – 1}}{{\sqrt {1 – a} }} = – \frac{1}{4} \Rightarrow \sqrt {1 – a} = 4 \Rightarrow 1 – a = 16 \Rightarrow a = – 15 [/math]
در بخش بعدی در مورد آهنگ لحظه ای تغییر مفصل توضیح خواهیم داد