تست های کنکوری سراسری آهنگ تغییرات
1-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt x [/math] ،آهنگ متوسط تغییر تابع ،از نقطه [math]x=4[/math] تا [math]x=6.25[/math] ، از آهنگ لحظه ای آن در نقطه [math]x=4[/math] ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{36}}\\2)\frac{1}{{18}}\\3)\frac{5}{{72}}\\4)\frac{1}{{12}}\\ [/math]
(کنکور سراسری تجربی خارج از کشور 1393)
پاسخ :ابتدا آهنگ تغییر متوسط را حساب می کنیم :
[math] \frac{{f(6.25) – f(4)}}{{6.25 – 4}} = \frac{{\sqrt {6.25} – \sqrt 4 }}{{2.25}} = \frac{{2.5 – 2}}{{2.25}} = \frac{{0.5}}{{2.25}} = \frac{1}{{4.5}} [/math]=آهنگ متوسط
آهنگ لحظه ای تغییر
[math] f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} \Rightarrow f'(4) = \frac{1}{{2 \times 2}} = \frac{1}{4} [/math]
اکنون تفاضل آهنگ متوسط تغییر را از آهنگ لحظه ای حساب می کنیم:
[math] \frac{1}{{4.5}} – \frac{1}{4} = \frac{{10}}{{45}} – \frac{1}{4} = \frac{{40 – 45}}{{180}} = \frac{{ – 5}}{{180}} = – \frac{1}{{36}} [/math]
پس آهنگ متوسط به مقدار [math] \frac{1}{{36}} [/math] از آهنگ لحظه ای کمتر است.
2-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{{\sqrt x }} [/math]،آهنگ متوسط تغییر تابع نسبت به متغیر x ، در نقطه [math]x=1[/math] با نمو [math]0.44[/math] از آهنگ لحظه ای تابع در این نقطه ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{30}}\\2)\frac{1}{{21}}\\3)\frac{1}{{12}}\\4)\frac{1}{6}\\ [/math]
کنکور سراسری علوم تجربی خارج از کشور 1394
پاسخ:
الف)آهنگ متوسط تغییر تابع از [math]x=1[/math] تا [math]x=1.44[/math] با استفاده از رابطه زیر بدست می آید :
[math] \frac{{f(1.44) – f(1)}}{{1.44 – 1}} = \frac{{f(1.44) – f(1)}}{{0.44}} = \frac{{\frac{{0.44}}{{\sqrt {1.44} }} – 0}}{{0.44}} = \frac{1}{{\sqrt {1.44} }} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{{\frac{6}{5}}} = \frac{5}{6}\\ [/math]
آهنگ لحظه ای تغییر باید مشتق تابع را حساب کنیم .ابتدا [math] f'(x) [/math] و سپس [math] f'(1) [/math] را حساب می کنیم و سپس اختلاف آهنگ متوسط و لحظه ای را حساب می کنیم:
[math] f(x) = \frac{{x – 1}}{{\sqrt x }} \to f'(x) = \sqrt x – \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt x }} – \frac{{ – \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x}\\\\ = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2x\sqrt x }} \Rightarrow f'(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 [/math]
اکنون آهنگ تغییر متوسط را از آهنگ لحظه ای تغییر کم می کنیم تا جواب بدست آوریم:
[math] 1 – \frac{5}{6} = \frac{1}{6} [/math]
پس جواب درست گزینه 4 است .
————————————
3-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt x [/math]، آهنگ متوسط تغییر تابع نسبت به متغیر x،در نقطه [math]x=1[/math] با نمو متغیر [math]0.21[/math]،از آهنگ لحظه ای تابع در این نقطه ،چقدر کمتر است ؟
[math] 1)\frac{1}{{42}}\\2)\frac{1}{{21}}\\3)\frac{3}{{42}}\\4)\frac{2}{{21}} [/math]
کنکور سراسری تجربی داخل 1394
پاسخ :چون گفته نمو تغییر [math]0.21[/math] یعنی آهنگ تغییر متوسط تابع از بازه [math]x[/math] تا [math] x + \Delta x [/math] از رابطه زیر به دست می آید :
[math] \frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} [/math]
منظور از نمو متغیر همان [math] \Delta x [/math] است،پس داریم [math] \Delta x=0.21 [/math]
اینجا در واقع آهنگ متوسط تغییرات را از [math]x=1[/math] تا [math]x=1.21[/math] بدست می آوریم :
[math] \frac{{f(1.21) – f(1)}}{{1.21 – 1}} = \frac{{\sqrt {1.21} – \sqrt 1 }}{{0.21}} = \frac{{1.1 – 1}}{{0.21}} = \frac{{0.1}}{{0.21}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{{21}}{{100}}}} = \frac{{10}}{{21}} [/math]
اکنون آهنگ لحظه ای تغییر را در [math]x=1[/math] ابتدا با ماسبه مشتق تابع بدست می آوریم :
[math] f(x) = \sqrt x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} [/math]
مقدار مشتق را در نقطه [math]x=1[/math] حساب می کنیم:
[math] \left\{ \begin{array}{l}f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\x = 1\end{array} \right\} \to f'(1) = \frac{1}{{2\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} [/math]
اکنون تفاضل آهنگ تغییر متوسط و آهنگ لحظه ای را حساب می کنیم:
[math] f'(1) – \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \frac{1}{2} – \frac{{10}}{{21}} = \frac{{21 – 20}}{{42}} = \frac{1}{{42}} [/math]
پس گزینه1 صحیح است.
4-در تابع با ضابطه [math] f(x) = (x + 2)\sqrt {4x + 1} [/math]،آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه [math][0,2][/math] از آهنگ تغییر لحظه ای آن در [math] x = \frac{3}{4} [/math] چقدر بیشتر است ؟
[math] 1)0.10\\2)0.15\\3)0.20\\4)0.25\\ [/math]
کنکور سراسری ریاضی 98-نظام جدید
پاسخ :
ابتدا آهنگ متوسط تغییر را در بازه [math][0,2][/math] را حساب می کنیم:
[math] \frac{{f(2) – f(0)}}{{2 – 0}} = \frac{{12 – 2}}{2} = 5 [/math]
آهنگ لحظه ای تغییر ابتدا مشتق تابع را حساب می کنیم و سپس مقدار مشتق در [math] x = \frac{3}{4} [/math] بدست می آوریم :
[math] f'(x) = 1 \times \sqrt {4x + 1} + \frac{4}{{2\sqrt {4x + 1} }}(x + 2)\\f'(\frac{3}{4}) = 2 + \frac{{11}}{4} = \frac{{19}}{4} [/math]
تفاضل آهنگ متوسط و آهنگ لحظه ای را حساب می کنیم:
[math] 5 – \frac{{19}}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 [/math]
پس جواب صحیح گزینه 4
5-در تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{x} [/math] اختلاف آهنگ تغییر لحظه ای در [math]x=2[/math] ، از آهنگ تغییر متوسط در بازه [math][1,4][/math] کدام است ؟
[math] 1)0.25\\2)0.5\\3)0.45\\4)0.75 [/math]
کنکور سراسری تجربی داخل -1398
پاسخ :
[math] f'(x) = x + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'(2) = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} [/math]
اکنون آهنگ متوسط تغییر را در بازه داده شده حساب می کنیم:
[math] \frac{{f(4) – f(1)}}{{4 – 1}} = \frac{{(\frac{1}{2}({4^2}) – \frac{1}{4}) – (\frac{1}{2}({1^2}) – \frac{1}{1})}}{3} = \frac{{(8 – \frac{1}{4}) – (\frac{1}{2} – 1)}}{3} = \frac{{11}}{4} [/math]
تفاضل آهنگ متوسط و آهنگ لحظه ای را حساب می کنیم:
[math] \frac{{11}}{4} – \frac{9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 [/math]
پاسخ صحیح گزینه 2 است.
6-حجم کره ای با آهنگ ثابت 3 سانتی متر مکعب در ثانیه افزایش دارد.در لحظظه ای که قطر کره 8 سانتی متر باشد،سطح کره چند سانتی مربع در ثانیه افزایش دارد؟
[math] 1)1.2\\2)1.25\\3)1.5\\4)1.6 [/math]
کنکور سراسری ریاضی -96
[math] v’ = 3\\2R = 8 \to R = 4 [/math]
[math] v = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow v’ = 4\pi {R^2}.R’ = 64\pi R’ \to R’ = \frac{3}{{64\pi }}\\S = 4\pi {R^2} \to S’ = 8\pi R.R’ = 8\pi \times 4 \times \frac{3}{{64\pi }} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 [/math]
پاسخ گزینه 3 درست است.