مشتق توابع 8-مشتق تابع لگاریتم ،لگاریتم طبیعی و تابع نمایی
مشتق تابع لگاریتم ،لگاریتم طبیعی و تابع نمایی
در این بخش میخواهیم در مورد مشتق لگاریتمها و انواع آن صحبت کنیم ، اما ترجیح می دهم قبل از ورود به مبحث مشتق لگاریتمها ، کمی در مورد مفهوم لگاریتم طبیعی توضیح دهم .
لگاریتم طبیعی لگاریتمی است با پایهٔ e که ثابت مشخصی است ، تعریف شده است .e با مقدار تقریبی ۲٫۷۳ (مقدار دقیق ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴). بصورت زیر :
پس در واقع می توان گفت که ارتباط بین لگاریتم طبیعی و لگاریتم بصورت تساوی زیر خواهد بود :
به دو دلیل ما[math]ln(x)[/math]را طبیعی مینامیم. اول: تعبیر اینکه متغیرهای ناشناختهای که به عنوان توانی از e، ظاهر میشود بیشتر وجود دارند نسبت به توانها 10،
و دوم: لگاریتم طبیعی نسبتاً آسانتر از یک انتگرال ساده یا سری تیلور میتواند تعریف شود. چیزی که در مورد لگاریتمهای دیکر درست نیست، بنابراین لگاریتم طبیعی مفیدتر است علاوه بر این لگاریتم طبیعی را میتوان برای همهٔ اعداد حقیقی مثبت x بصورت ناحیهٔ زیر منحنی [math] y = \frac{1}{t} [/math] از ۱ تا x تعریف نمود. [math]ln(x)[/math] صریحاً ممکن است به عنوان ناحیهٔ زیر نمودار (انتگرال) [math] y = \frac{1}{t} [/math] از 1 تا x تعریف شود و آن این است
مشتق تابع نمایی طبیعی
قضیه 1: مشتق تابع نمایی طبیعی [math] f(x) = {e^x} [/math] که در آن عدد [math]e[/math] عدد نپر است به صورت [math] f(x) = {e^x} [/math] است .
نکته :در حالت [math] f(x) = {e^u} [/math] مشتق آن برابر [math] f'(x) = u'{e^u} [/math]
مشتق | تابع |
[math] f(x) = {e^x} [/math] | [math] f(x) = {e^x} [/math] |
[math] f'(x) = u'{e^u} [/math] | [math] f(x) = {e^u} [/math] |
مثال 1:مشتق توابع [math] f(x) = {e^{{x^2}}} [/math] و [math] g(x) = {e^{\sin x}} [/math] را بدست اورید.
[math] f(x) = {e^{{x^2}}} \Rightarrow f(x)’ = ({x^2})'{e^{{x^2}}} = 2x{e^{{x^2}}}\\g(x) = {e^{\sin x}} \Rightarrow g(x)’ = (\sin x)'{e^{\sin x}} = \cos x.{e^{\sin x}} [/math]
مشتق تابع لگاریتمی
معکوس تابع [math] y = {e^x} [/math] تابع [math]y=ln(x)[/math] است .در واقع [math] \ln x = \log _e^x [/math] یعنی [math]lnx[/math] همان لگاریتمی است که مبنای آن [math]e[/math] است پس :
[math] y = \ln u \Rightarrow y’ = \frac{{u’}}{u} [/math]
که در حالت خاص داریم :
[math] y = \ln x \Rightarrow y’ = \frac{1}{x} [/math]
البته فرولهای بالا را به قدر مطلق به صورت زیر هم نشان می دهند:
[math] (\ln |u|)’ = \frac{{u’}}{u}\\(\ln |x|)’ = \frac{1}{x} [/math]
مثال 2:مشتق توابع زیر را بدست آورید.
[math] 1)f(x) = 3{e^x} + \ln (1 + x)\\f'(x) = 3{e^x} + \frac{{(1 + x)’}}{{(1 + x)}} = 3{e^x} + \frac{1}{{(1 + x)}}\\ [/math]
[math] 2)g(x) = \ln (1 + \sqrt x )\\g'(x) = \frac{{(1 + \sqrt x )’}}{{(1 + \sqrt x )}} = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{(1 + \sqrt x )}} [/math]
[math] 3)h(x) = \ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} [/math]
ابتدا با استفاده از خاصیت [math] \ln \frac{a}{b} = \ln a – \ln b [/math] و [math] \ln \sqrt a = \frac{1}{2}\ln a [/math] تابع را ساده می کنیم :
[math] h(x) = \ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} = \frac{1}{2}\ln (\frac{{1 + x}}{{1 – x}}) = \frac{1}{2}\left[ {\ln (1 + x) – \ln (1 – x)} \right] [/math]
اکنون می توانیم از تابع ساده شده فوق مشتق بگیریم :
[math] h'(x) = \frac{1}{2}{\left[ {\ln (1 + x) – \ln (1 – x)} \right]^\prime } \Rightarrow \\= \frac{1}{2}\left[ {\ln (1 + x)’ – \ln (1 – x)’} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{1 + x}} – \frac{{ – 1}}{{1 – x}}} \right] [/math]
مشتق تابع نمایی
در حالت کلی به تابعی نمایی گفته میشود که در آن عدد به توان یک متغیر رسیده باشد. به صورت زیر:
[math] f(x) = {a^x} [/math]
به منظور بدست آوردن مشتق تابع [math] f(x) = {a^x} [/math] میتوان آن را به ترتیب زیر به شکلی نمایی نوشت. در این صورت خواهیم داشت:
[math] f(x) = {a^x}\\ = {(a)^x}\\ = {({e^{\ln a}})^x}\\ = {e^{(\ln a)x}}\\ = {e^{x\ln a}} [/math]
با استفاده از قانون مشتق گیی توانی داریم:
[math] f(x) = {a^x} = {e^{x\ln a}} \Rightarrow f'(x) = {e^{x\ln a}}(\ln a) [/math]
از طرفی می دانیم که [math] {e^{x\ln a}} [/math] برابر با [math] {a^x} [/math] پس رابطه فوق به صورت زیر می شود:
[math] f(x) = {a^x} \Rightarrow f'(x) = {a^x}(\ln a) [/math]
در حالت کلی به صورت زیر است :
[math] f(x) = {a^u} \Rightarrow f'(x) = u'{a^u}(\ln a) [/math]
مثال 3:
[math] f(x) = {(2)^{{x^2}}}\\f'(x) = ({x^2})'{(2)^{{x^2}}}\ln 2 = 2x{(2)^{{x^2}}}\ln 2 [/math]
مشتق لگاریتم
ا توجه به یافته شدن مشتق تابع lnx، در مرحله بعد میتوان مشتق تابع logx را نیز بدست آورد. در حقیقت در این حالت بایستی لگاریتم را بر حسب لگاریتم در مبنای e نوشته، سپس از آن مشتق گرفته شود. بهمنظور انجام این کار ابتدا به ساکن تابع لگاریتمی به ترتیب زیر نوشته شده، سپس به لگاریتم در مبنای e تبدیل میشود.
[math] \log _a^x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}} [/math]
حال با استفاده از قانون مشتقگیری کسری، از طرفین رابطه فوق مشتق میگیریم. با انجام این کار داریم:
[math] (\log _a^x)’ = (\frac{{\ln x}}{{\ln a}})’ = \frac{1}{{\ln a}}(\ln x)’ = \frac{1}{{x\ln a}} [/math]
توجه داشته باشید که در بدست آوردن رابطه بالا از ثابت بودن ln a استفاده شده است. نهایتا مشتق تابع لگاریتمی برابر با رابطه زیر بدست میآید.
[math] (\log _a^x)’ = \frac{1}{{x\ln a}} [/math]
مثالهای حل شده مشتق تابع لگاریتم
مثال 4:مشتق توابع زیر را حساب کنید.
[math] 1)f(x) = {4^x} – 5\log _9^x\\f'(x) = ({4^x})’ – (5\log _9^x)’ = {4^x}\ln 4 – \frac{5}{{x\ln 9}} [/math]
[math] 2)f(x) = \frac{{5{e^x}}}{{3{e^x} + 1}}\\f'(x) = \frac{{5{e^x}(3{e^x} + 1) – (5{e^x})(3{e^x})}}{{{{(3{e^x} + 1)}^2}}}\\ = \frac{{15{e^{2x}} + 5{e^x} – 15{e^{2x}}}}{{{{(3{e^x} + 1)}^2}}}\\ = \frac{{5{e^x}}}{{{{(3{e^x} + 1)}^2}}} [/math]
[math] 3)g(x) = 3{e^x} + 10{x^3}\ln x\\g'(x) = 3{e^x} + 30{x^2}\ln x + 10{x^3}(\frac{1}{x})\\ = 3{e^x} + 30{x^2}\ln x + 10{x^2} [/math]
[math] 4)h(x) = \ln \tan \frac{x}{2} [/math]
طبق مشتق قاعده زنجیره ای
[math] h'(x) = (\ln \tan \frac{x}{2})’ = \frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}(\tan \frac{x}{2})’\\ = \cot \frac{x}{2}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}.(\frac{x}{2})’\\ = \frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}.(\frac{1}{2}) = \frac{1}{{2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}}} [/math]
[math] 5)t(x) = \ln (\sin x) + 2\cos ({e^x}) – \sqrt[5]{{{{({x^2} + x)}^3}}}\\t(x)’ = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} + 2{e^x}\sin ({e^x}) – \frac{{3(2x + 1)}}{{5\sqrt[5]{{{{({x^2} + x)}^2}}}}} [/math]
خیلی خیلی خوب بوده مرسی خیلی ممنونم
مرسیییییی
ععععععععععععععاااااالی بود فقط مشتق لگاریتم رو نمیدونستم فردا ریاضی رو صد میزنم اخ جونـــ
مرسی خیلی خوب بود.