آزمون مشتق دوم برای تعیین اکسترمم های نسبی
ما در مطلب قبلی در مورد تعیین اکسترمم های نسبی با استفاده از مشتق اول تابع و تعیین علامت آن صحبت کردیم اکنون میخواهیم از مشتق دوم نیز استفاده کنیم :
فرض کنید [math]f[/math] تابعی باشد که در [math]x=c[/math] نقطه بحرانی داشته باشد یعنی [math] f'(c) = 0 [/math] و مشتق دوم یعنی [math] {f”} [/math] در همسایگی [math]x=c[/math] موجود باشد آنگاه :
الف)اگر [math] f”(c) > 0 [/math] آنگاه ،[math]f[/math] در [math]x=c[/math] مینیمم نسبی دارد.در این حالت مشخص است که تقعر منحنی رو به بالا است.
ب) اگر [math] f”(c) < 0 [/math] آنگاه ،[math]f[/math] در [math]x=c[/math] ماکسیمم نسبی دارد. در این حالت مشخص است که تقعر منحنی رو به پایین است.
ج)در حالتی که [math] f”(c) = 0 [/math] آزمون مشتق دوم شکست می خورد یعنی از این آزمون نمی توان برای تشخیص نقاط اکسترمم استفاده کرد.
مثال 1: منحنی تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را بررسی کنید.
می دانیم که این نمودار برای ما آشناست و در بخشهای گذشته در مورد آن مفصل صحبت کرده ایم و می دانیم که نمودار آن به صورت زیر بود :
اما میخواهیم بدانیم که چگونه نمودار این تابع به شکل بالا می شود .
الف) می دانیم دامنه این تابع [math] {D_f} = R – \{ 0\} [/math]
ب) اکنون مشتق اول این تابع را حساب می کنیم :
[math] f(x) = \frac{1}{x} \to f'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}} [/math]
مشتق اول این تابع در تمام نقاط به غیر از صفر مشتق پذیر است .مشتق اول این تابع در نقطه صفر موجود نیست اگر چه نقطه بحرانی است ولی مشتق در این نقطه صفر نیست .پس نمی توان با استفاده از مشتق اول به نتیجه رسید لذا مجبوریم مشتق دوم را نیز بررسی کنیم.
[math] f'(x) = – \frac{1}{{{x^2}}} \to f”(x) = \frac{2}{{{x^3}}} [/math]
مشتق دوم در نقطه صفر وجود ندارد و برابر صفر نیست اگر چه این نقطه بحرانی است . اما در همسایگی نقطه [math]x=0[/math] داریم :
اگر [math]x>0[/math] آنگاه [math] f”(x) > 0 [/math] و لذا جهت تقعر نمودار در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] رو به بالا است.
اگر [math]x<0[/math] آنگاه [math] f”(x) < 0 [/math] و لذا جهت تقعر نمودار در بازه [math] ( – \infty ,0) [/math] رو به پایین است .
مثال 2:نقاط اکسترمم نسبی تابع [math] f(x) = \frac{1}{2}x – \sin x [/math] را بدست آورید.
ابتدا مشتق اول را حساب می کنیم :
[math] f'(x) = \frac{1}{2} – \cos x [/math]
ریشه مشتق را حساب می کنیم تا نقاط بحرانی را بدست آوریم :
[math] f'(x) = \frac{1}{2} – \cos x = 0 \to \frac{1}{2} – \cos x = 0 \to \\\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi }{3} [/math]
اکنون که طول نقاط بحرانی را بدست آوردیم حالا مشتق دوم را حساب می کنیم و ببینم مشتق دوم در این نقاط مثبت یا منفی است :
[math] f'(x) = \frac{1}{2} – \cos x \to f”(x) = \sin x [/math]
[math] f”(x) = \sin x\\1)f”(2k\pi + \frac{\pi }{3}) = \sin (2k\pi + \frac{\pi }{3}) = \sin\frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0 [/math]
در حالت 1 حاصل ما مثبت شد پس در این نقطه مینیم نسبی داریم و جهت تقعر رو به بالا
[math] 2)f”(2k\pi – \frac{\pi }{3}) = \sin (2k\pi – \frac{\pi }{3}) = – \sin \frac{\pi }{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0 [/math]
در حالت 2 حاصل ما منفی شد پس در این نقطه ماکسیمم نسبی داریم و جهت تقعر رو به پایین.
نکته پایانی : برای تابع f در نقطه [math]x=c[/math] اگر [math] f'(c) = f”(c) = 0 [/math] نمی توان نتیجه خاصی گرفت ممکن است ماکزمم نسبی باشد و ممکن است مینیم نسبی یا اصلا هیچ کدام مانند نمودارهای زیر :
در پایان تاکید می کنم که ما در تعیین نقاط اکسترمم نسبی معمولا از آزمون مشتق اول استفاده می کنیم و استفاده از آزمون مشتق دوم محدود تر است و تا حد امکان بهتر است که از آزمون اول بتوانیم به جواب برسیم .