توابع مثلثاتی-تابع کسینوس
تابع Cos
ابتدا تغییرات کسینوس را روی دایره مثلثاتی ،و در امتداد جهت مثبت (خلاف عقربه های ساعت) با استفاده از نقطه یابی در نظر می گیریم . برای این کار جدول زیر مقدار کسینوس را در بازه
[math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] در نظر می گیریم .
[math] 2\pi [/math] | [math] \frac{5\pi }{3} [/math] | [math] \frac{3\pi }{2} [/math] | [math] \frac{4\pi }{3} [/math] | [math] \pi [/math] | [math] \frac{2\pi }{3} [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math] \frac{\pi }{3} [/math] | 0 | رادیان (x) |
[math]1[/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math] 0[/math] | [math] -\frac{1}{2} [/math] | [math]-1[/math] | [math] -\frac{1}{2} [/math] | [math]0[/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | 1 | [math]y=Cosx[/math] |
جدول بالا را به بصورت زوج مرتب به شکل زیر می نویسیم و سپس نقاط بدست آمده را در دستگاه مختصات رسم می کنیم .
[math]f = \left\{ {(0,1),(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}),(\frac{\pi }{2},0),(\frac{{2\pi }}{3}, – \frac{1}{2}),(\pi , – 1),(\frac{{4\pi }}{3}, – \frac{1}{2}),(\frac{{3\pi }}{2},0),(\frac{{5\pi }}{3},\frac{1}{2}).(2\pi ,1)} \right\}[/math]
نمودار فوق ،تابع است زیر هر خط موازی محور y ها رسم کنیم نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند پس تابع است .
در فیلم بالا نحوه چرخش زوایه بر روی دایره مثلثاتی و تناسب آن را بر محور مختصات مشاهده می کنید .و نشان می دهد که به ازای هر مقداری که کسینوس در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] چه مقداری بر روی محور مختصات می گیرد . طبق فیلم بالا
1-اگر زوایه صفر درجه باشد مقدار کسینوس آن نیز یک بود و هر چه از صفر به سمت زاویه 90 درجه حرکت کنیم مقدار کسینوس کاهش می یابد و به عدد 0 نزدیک می شود زمانی که زاویه برابر
[math] \frac{\pi }{2} [/math] شود مقدار کسینوس نیز برابر صفر می شود.
2-حالا از زاویه 90 درجه حرکت را ادامه دهیم زاویه از 90 درجه بیشتر می شود اما مقدار کسینوس از صفر کمتر می شود و کاهش می یابد تا زمانی که زاویه برابر 180 درجه یعنی [math] \pi[/math] شود مقدار کسینوس برابر منفی یک می شود.
3-اکنون اگر زاویه از [math] \pi[/math] به سمت [math] \frac{3\pi }{2} [/math] باز هم افزایش یابد مقدار کسینوس از منفی یک افزایش می باید و به صفر می رسد.
4-در ادامه زاویه از [math] \frac{3\pi }{2} [/math] افزایش می یابد و به [math]2 \pi[/math] می رسد در اینجا می بینیم که مقدار کسینوس از صفر به یک افزایش می باید و به عدد یک می رسد.
تغییرات بالا را می توان در جدول زیر مشاهده کرد .
نکته مهم : با توجه به توضیحاتی که دادیم . فیلمی که مشاهده کردید و شکل بالا که تغییرات کسینوس را نشان می دهد ؛ اگر روی دایره مثلثاتی بصورت متناوب حرکت کنیم حدود تغییرات کسینوس همواره بین یک و منفی یک و بصورت مقابل نوشته می شود :
[math] – 1 \le Cosx \le 1[/math]
تابع کسینوس
تابع [math]y=Cosx[/math] را یک تابع مثلثاتی می گویند . دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن [math][-1,1][/math] می باشد.به این تابع موج کسینوسی نیز گفته می شود.
خصوصیات نمودار تابع [math]y=Cosx[/math] |
1-دوره تناوب (تکرار) این تابع برابر [math] 2\pi [/math] |
2-دامنه این تابع برابر تمام اعداد حقیقی است. |
3-برد این تابع [math][-1,1][/math] می باشد. |
4-محور x ها را در نقاطی قطع می کند که ضریبی از [math]\frac{\pi }{2} + \pi n [/math] و n عددی طبیعی است. نقاطی مانند [math]..,- \frac{{3\pi }}{2}, – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2},..[/math] |
5-محور y ها را در نقطه 1 قطع می کند. |
6-مقدار ماکسیمم (حداکثر) آن برابر [math]y=1[/math] در نقاطی است که [math] x = n\pi [/math] و n عددی طبیعی و زوج است است. مانند :[math] x = …, – 2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,6\pi ,… [/math] |
7-مقدار مینیمم (حداقل) آن برابر [math]y=-1[/math] در نقاطی است که [math] x = n\pi [/math] و n عددی طبیعی و فرد است. مانند [math] x = …, – \pi ,\pi ,3\pi ,5\pi ,… [/math] |
در شکل زیر نمودار سینوس و کسینوس به صورت جداگانه مشص شده است که با دقت به تصویر می توان تفاوت این دوتا نمودار را تشخیص داد .
رسم نمودارهای کسینوسی
حالت 1:رسم نمودار [math]y=aCosx[/math]
[membership level=”0″]
دسترسی کامل به این درس برای کاربران ویژه در نظر گرفته شده است.
[/membership]
[membership]
در چنین حالتی مقدار x همان مقادیری است که برای نمودار تابع [math]y=Cosx[/math]است .ولی مقادیر y متناسب با مقدار a خواهند بود یعنی مقادیر y در عدد a ضرب خواهند شد. فقط مقادیر y تغییر می کنند.در واقع اینجا برد تابع ما عوض می شود و برابر خواهد بود با بازه[math][-|a|,|a|][/math]
همچنین مقادیر ماکسیمم و می نیمم تابع a برابر خواهند شد.
مثال 1:نمودار مثلثاتی [math]y=4Cosx[/math] را رسم کنید .
ابتدا جدول زیر را برای مقایسه بین [math]Cosx,4Cosx[/math] محاسبه میکنیم تا بفهمیم چه تغییراتی ایجاد می شود :
اکنون نمودار این تابع را در شکل زیر ببینید
در هر دو نمودار در یک نقطه محور x ها را قطع می کند . تنها تفاوت دو نمودار در حول محور y ها است. نقطه ماکزیمم نمودار [math]y=4Cosx[/math] در نقاط [math] x = 0,2\pi [/math] بدست می آیند که [math]y=4[/math] می شود و مقدار مینیمم در [math]x=\pi [/math] است که [math]y=-4[/math]
[/membership]
حالت دوم:رسم نمودار [math]y=aCoskx[/math]
[membership level=”0″]
دسترسی کامل به این درس برای کاربران ویژه در نظر گرفته شده است.
[/membership]
[membership]
در این حالت مقادیر y در a ضرب می شوند هستند یعنی برد تابع ما همان a برابر برد تابع [math]y=Cosx[/math] است همچنین مقادیر متغیر x دچار تغییر می شوند بستگی به ضریب k داده شده تغییر می کنند.
1-دوره تناوب این تابع برابر [math] \frac{{2\pi }}{b} [/math] می باشد.که روی محور x ها است.
2-چهار فاصله متساوی در بازه بالا در نظر می گیریم –نقطه آغاز –ربع اول-نیمه –ربع سوم –نقطه انتهایی این فاصله ها در بازه [math][0, \frac{{2\pi }}{b}][/math] قرار دارند.
3-به ازای نقاط بدست آمده در مرحله دوم مقادیر آن را برای xوy حساب می کنیم.
4-نقاط بدست آمده را به هم وصل می کنیم نمودار منحنی بدست می آید.
[/membership]
مثال 2: نمودار تابع [math]y = – 3Cos\pi x[/math] را بدست آورید.
[membership level=”0″]
دسترسی کامل به این درس برای کاربران ویژه در نظر گرفته شده است.
[/membership]
[membership]
طبق توضیحات بالا اولین کاری که باید انجام دهیم بدست آوردن دوره تناوب است که اینجا برابر
[math] b = \pi \to \frac{{2\pi }}{\pi } = 2 [/math]
پس این تابع را باید در بازه [math][0,2][/math] بررسی کنیم.
2-مرحله دوم تقسیم این بازه [math][0,2][/math] به چهار قسمت متساوی روی محور x ها که نقاطی مانند [math] 0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2 [/math] بدست می آیند.
مرحله سوم جدول مقادیر را تشکیل می دهیم .
نقاط بدست آمده برابر
[math] (0, – 3),(\frac{1}{2},0),(1,3),(\frac{3}{2},0),(2, – 3) [/math]
این نقاط را به هم وصل کرده نمودار ما به شکل زیر خواهد بود
حالت سوم انتقال تابع
[/membership]
مثال 3: با توجه به نمودار [math]y=Cosx[/math] نمودار تابع [math] y = – Cos(x + \frac{\pi }{2}) [/math] را بدست آورید.
[membership level=”0″]
دسترسی کامل به این درس برای کاربران ویژه در نظر گرفته شده است.
[/membership]
[membership]
ابتدا نمودار کسینوس را رسم می کنیم :
ابتدا با استفاده از روش انتقال نمودار توابع می دانیم که [math] y = Cos(x + \frac{\pi }{2}) [/math] حالتی مشابه به [math]f(x+k)[/math] یعنی انتقال نمودار [math]f(x)[/math] به اندازه k واحد به سمت چپ x ها می باشد .یعنی انتقال در جهت منفی محور x ها است .
و سرانجام نمودار [math] y = – Cos(x + \frac{\pi }{2}) [/math] قرینه نمودار شکل بالا است پس قرینه آن را نسبت به محور x ها را بدست می آوریم و نمودار به شکل زیر خواهد بود .
[/membership]