ویژگی های توان ها گویا
ویژگی های توان ها گویا
در بخش قبل حالت های [math] {x^{\frac{1}{n}}},{x^{\frac{m}{n}}} [/math] را بررسی کردیم . در این بخش می خواهمی ویژگی های تکمیلی توان ها گویا را بررسی کنیم .
1-توان گویای منفی : [math] {a^{ – \frac{m}{n}}}[/math] :اگر m,n اعداد طبیعی باشند آنگاه داریم:
[math] {25^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{25}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {25} }} = \frac{1}{5} [/math] | [math] {a^{ – \frac{m}{n}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{m}{n}}}}}[/math] |
[math] {(\frac{2}{3})^{ – \frac{3}{4}}} = {(\frac{3}{2})^{\frac{3}{4}}} [/math] | [math] {(\frac{a}{b})^{ – \frac{m}{n}}} = {(\frac{b}{a})^{\frac{m}{n}}} [/math] |
[math] {(8)^{\frac{2}{6}}} = {8^{\frac{{2 \times 1}}{{2 \times 3}}}} = {8^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{8} = 2 [/math] | [math] {a^{\frac{{km}}{{kn}}}} = {a^{\frac{m}{n}}}:a > 0 [/math] |
در حالت سوم که [math] {a^{\frac{{km}}{{kn}}}} = {a^{\frac{m}{n}}}[/math] دقت کنید که [math]a>0[/math] حتما به این شرط توجه کنید .چون برای اعداد منفی صحیح نیست ، با یک مثال دلیل آن را نشان می دهیم :
[math] {( – 8)^{\frac{2}{6}}} = – {8^{\frac{{2 \times 1}}{{2 \times 3}}}} = – {8^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{ – 8}} = – 2[/math]
اما اگر توان بالا را قبل از ساده کردن حساب کنیم بصورت زیر خواهد بود .دقت کنید که در توان ها گویا اول ریشه را حساب می کنیم و بعد حاصل را به توان می رسانیم :
[math] {( – 8)^{\frac{2}{6}}} = {(\sqrt[6]{{ – 8}})^2}[/math]
ریشه[math]\sqrt[6]{{ – 8}}[/math] تعریف نشده است . چون می دانیم که اعداد منفی ریشه زوج ندارند پس :
[math] – {8^{\frac{2}{6}}} \ne – {8^{\frac{1}{3}}}[/math]
2-اگر r,s اعداد گویا (کسری) باشند برای همه اعداد حقیقی تساویهای زیر برقرار است :
[math] {3^{\frac{2}{5}}} \times {3^{\frac{4}{5}}} = {3^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}} = {3^{\frac{6}{5}}} [/math] | [math] {a^r} \times {a^s} = {a^{r + s}} [/math] |
[math] {3^{\frac{2}{5}}} \div {3^{\frac{4}{5}}} = {3^{\frac{2}{5} – \frac{4}{5}}} = {3^{ – \frac{2}{5}}} = \frac{1}{{{3^{\frac{2}{5}}}}} [/math] | [math] \frac{{{a^r}}}{{{a^s}}} = {a^{r – s}} [/math] |
[math] {10^{\frac{2}{3}}} = {(5 \times 2)^{\frac{2}{3}}} = {5^{\frac{2}{3}}} \times {5^{\frac{2}{3}}} [/math] | [math] {(ab)^r} = {a^r}.{b^r} [/math] |
[math] {(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{2^{\frac{1}{3}}}}}{{{3^{\frac{1}{3}}}}} [/math] | [math] {(\frac{a}{b})^r} = \frac{{{a^r}}}{{{b^r}}} [/math] |
[math] {({2^4})^{\frac{1}{3}}} = {2^{\frac{4}{3}}} [/math] | [math] {({a^r})^s} = {a^{rs}} [/math] |