توابع مثلثاتی-تابع سینوس
توابع مثلثاتی
توابع دوره ای یا متناوب
پدیده های زیادی در اطراف ما هستند که بر اساس الگوی مشخصی قابل پیش بینی و تکراری هستند .در واقع بر اساس یک الگو زمانی بطور مرتب تکرار می شوند . مانند . ضربان قلب ،جزر و مد ماه ،جریان برق و غیره . مثلا شکل زیر نشان دهنده یک ضربان قلب طبیعی است که در هر بازه زمانی همان نوسان تکرار می شود.چنین توابعی الگویی از توابع سینوسی یا کسینوسی هستند
تابع sin
ابتدا تغییرات سینوس را روی دایره مثلثاتی ،و در امتداد جهت مثبت (خلاف عقربه های ساعت) با استفاده از نقطه یابی در نظر می گیریم . برای این کار جدول زیر مقدار سینوس را در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] در نظر می گیریم .
[math] 2\pi [/math] | [math] \frac{11\pi }{6} [/math] | [math] \frac{3\pi }{2} [/math] | [math] \frac{7\pi }{6} [/math] | [math] \pi [/math] | [math] \frac{5\pi }{6} [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math] \frac{\pi }{3} [/math] | [math] \frac{\pi }{6} [/math] | 0 | رادیان (x) |
[math]0[/math] | [math] -\frac{1}{2} [/math] | [math]-1[/math] | [math] -\frac{1}{2} [/math] | [math]0[/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | [math]1[/math] | [math] \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0.86 [/math] | [math] \frac{1}{2} [/math] | 0 | [math]y=Sinx[/math] |
جدول بالا را به بصورت زوج مرتب به شکل زیر می نویسیم و سپس نقاط بدست آمده را در دستگاه مختصات رسم می کنیم .
[math] f = \left\{ {(0,0),(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2}),(\frac{\pi }{3},\frac{{\sqrt 3 }}{2}),(\frac{\pi }{2},1),(\frac{{5\pi }}{6},\frac{1}{2}),(\pi ,0),(\frac{{7\pi }}{6}, – \frac{1}{2}),(\frac{{3\pi }}{2}, – 1),(\frac{{11\pi }}{6}, – \frac{1}{2}).(2\pi ,0)} \right\}[/math]
نمودار فوق ،تابع است زیر هر خط موازی محور y ها رسم کنیم نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند پس تابع است .
در شکل بالا به ازای هر نقطه روی دایره ، نقطه متناظر آن را روی محور نشان داده ایم که برای فهم بهتر می توانید فیلم زیر را مشاهده کنید.
در فیلم بالا نحوه چرخش زوایه بر روی دایره مثلثاتی و تناسب آن را بر محور مختصات مشاهده می کنید .و نشان می دهد که به ازای هر مقداری که سینوس در بازه [math] \left[ {0,2\pi } \right] [/math] چه مقداری بر روی محور مختصات می گیرد . طبق فیلم بالا
1-اگر زوایه صفر درجه باشد مقدار سینوس آن نیز صفر بودو هر چه از صفر به سمت زاویه 90 درجه حرکت کنیم مقدار سینوس افزایش می یابد و به عدد 1 نزدیک می شود زمانی که زاویه برابر [math] \frac{\pi }{6} [/math] شود مقدار سینوس نیز برابر یک می شود.
2-حالا از زاویه 90 درجه حرکت را ادامه دهیم زاویه از 90 درجه بیشتر می شود اما مقدار سینوس از یک کمتر می شود و کاهش می یابد تا زمانی که زاویه برابر 180 درجه یعنی [math] \pi[/math] شود مقدار سینوس برابر صفر می شود.
3-اکنون اگر زاویه از [math] \pi[/math] به سمت [math] \frac{3\pi }{2} [/math] باز هم افزایش یابد مقدار سینوس از صفر کاهش می باید و به منفی یک می رسد.
4-در ادامه زاویه از [math] \frac{3\pi }{2} [/math] افزایش می یابد و به [math]2 \pi[/math] می رسد در اینجا می بینیم که مقدار سینوس از منفی یک افزایش می باید و به عدد صفر می رسد.
تغییرات بالا را می توان در جدول زیر مشاهده کرد .
نکته مهم : با توجه به توضیحاتی که دادیم . فیلمی که مشاهده کردید و شکل بالا که تغییرات سینوس را نشان می دهد ؛ اگر روی دایره مثلثاتی بصورت متناوب حرکت کنیم حدود تغییرات سینوس همواره بین یک و منفی یک و بصورت مقابل نوشته می شود :
[math] – 1 \le Sinx \le 1[/math]
تابع سینوس
تابع [math]y=Sinx[/math] را یک تابع مثلثاتی می گویند . دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن [math][-1,1][/math] می باشد.به این تابع موج سینوسی نیز گفته می شود.
خصوصیات نمودار تابع [math]y=Sinx[/math] |
1-دوره تناوب (تکرار) این تابع برابر [math] 2\pi [/math] |
2-دامنه این تابع برابر تمام اعداد حقیقی است. |
3-برد این تابع [math][-1,1][/math] می باشد. |
4-محور x ها را در نقاطی قطع می کند که ضریبی از [math] n\pi [/math] و n عددی طبیعی است. |
5-محور y ها را در نقطه صفر قطع می کند. |
6-مقدار ماکسیمم (حداکثر) آن برابر [math]y=1[/math] در نقاطی است که [math] x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n [/math] و n عددی طبیعی است. |
7-مقدار مینیمم (حداقل) آن برابر [math]y=-1[/math] در نقاطی است که [math] x = \frac{3\pi }{2} + 2\pi n [/math] و n عددی طبیعی است. |
رسم نمودارهای سینوسی
حالت 1:رسم نمودار [math]y=aSinx[/math]
در چنین حالتی مقدار x همان مقادیری است که برای نمودار تابع [math]y=Sinx[/math]است .ولی مقادیر y متناسب با مقدار a خواهند بود یعنی مقادیر y در عدد a ضرب خواهند شد. فقط مقادیر y تغییر می کنند.در واقع اینجا برد تابع ما عوض می شود و برابر خواهد بود با بازه
[math][-|a|,|a|][/math] همچنین مقادیر ماکسیمم و می نیمم تابع a برابر خواهند شد.
مثال 1:نمودار مثلثاتی [math]y=3Sinx[/math] را رسم کنید .
ابتدا جدول زیر را برای مقایسه بین [math]Sinx,3Sinx[/math] محاسبه میکنیم تا بفهمیم چه تغییراتی ایجاد می شود :
[math] 2\pi [/math] | [math] \frac{3\pi }{2} [/math] | [math] \pi [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math]0[/math] | [math]x[/math] |
[math]0[/math] | [math]-1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]Sinx[/math] |
[math]0[/math] | [math]-3[/math] | [math]0[/math] | [math]3[/math] | [math]0[/math] | [math]3Sinx[/math] |
همانطور که در جدول بالا مشاهده می کنید مقادیر y در این نمودار 3 برابر شده اند .برد این تابع برابر بازه [math][-3,3][/math] و مقدار ماکسیمم آن برابر 3 و می نیممم آن برابر منفی 3 است .
حالت دوم:رسم نمودار [math]y=aSinKx[/math]
در این حالت مقادیر y در a ضرب می شوند هستند یعنی برد تابع ما همان a برابر برد تابع [math]y=Sinx[/math] است همچنین مقادیر متغیر x دچار تغییر می شوند بستگی به ضریب k داده شده تغییر می کنند.
1-دوره تناوب این تابع برابر [math] \frac{{2\pi }}{b} [/math] می باشد.که روی محور x ها است.
2-چهار فاصله متساوی در بازه بالا در نظر می گیریم –نقطه آغاز –ربع اول-نیمه –ربع سوم –نقطه انتهایی این فاصله ها در بازه [math][0, \frac{{2\pi }}{b}][/math] قرار دارند.
3-به ازای نقاط بدست آمده در مرحله دوم مقادیر آن را برای xوy حساب می کنیم.
4-نقاط بدست آمده را به هم وصل می کنیم نمودار منحنی بدست می آید.
مثال 2:نمودار تابع [math]y=-2Sinx[/math] را بدست آورید.
ابتدا باید دوره تناوب آن را طبق توضیحاتی که در بالا نوشتیم حساب کنیم خوب دوره تناوب این نمودار برابر با [math] \frac{{2\pi }}{3} [/math] پس نمودار را در بازه[math][0, \frac{{2\pi }}{3}][/math] بررسی خواهیم کرد .
2-اکنون در این بازه بدست امده چهار نقطه متساوی الفاصله تعیین می کنیم و مقایر x و y را در آنها حساب می کنیم
[math] 0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3} [/math]
جدولی برای این مقادیر حساب می کنیم :
[math] \frac{{2\pi }}{3} [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math] \frac{\pi }{3} [/math] | [math] \frac{\pi }{6} [/math] | [math]0[/math] | [math]x[/math] |
[math] 2\pi [/math] | [math] \frac{{3\pi }}{2} [/math] | [math] \pi [/math] | [math] \frac{\pi }{2} [/math] | [math]0[/math] | [math]3x[/math] |
[math]0[/math] | [math]-1[/math] | [math]0[/math] | [math]1[/math] | [math]0[/math] | [math]Sin3x[/math] |
[math]0[/math] | [math]2[/math] | [math]0[/math] | [math]-2[/math] | [math]0[/math] | [math]-2Sin3x[/math] |
3- نقاط بدست امده برابر
[math] (0,0),(\frac{\pi }{6}, – 2),(\frac{\pi }{3},0),(\frac{\pi }{2},2),(\frac{{2\pi }}{3},0) [/math]
4-اکنون کافیه این نقاط را به هم متصل کرده تا نمودار تابع بدست آوریم .
حالت سوم قدر مطلق
مثال 3: با توجه به نمودار تابع مثلثاتی [math]y=Sinx[/math] نمودار تابع [math]y=|Sinx|[/math] را بدست آورید .
پاسخ :
ابتدا نمودار سینوس را رسم می کنیم :
می دانیم که برای رسم قدر مطلق یک نمودار ،قستمهایی از نمودار که در زیر محور x ها است را نسبت به محور x ها قرینه می کنیم و قسمت پایین محور x ها را حذف می کنیم به این ترتیب نمودار قدر مطلق سینوس بصورت زیر خواهد بود .
حالت چهارم : انتقال
برای آشنایی بیشتر با روش رسم نمودار توابع به کمک انتقال لینک –رسم توابع به کمک انتقال – را مطالعه کنید.
مثال 4: با توجه به نمودار سینوس نمودارهای [math] y = Sin(x + \frac{\pi }{2}),y = Sin(x – \frac{\pi }{2}) [/math] را بدست آورید .
پاسخ ،: ابتدا با استفاده از روش انتقال نمودار توابع می دانیم که [math] y = Sin(x + \frac{\pi }{2}) [/math] حالتی مشابه به [math]f(x+k)[/math] یعنی انتقال نمودار [math]f(x)[/math] به اندازه k واحد به سمت چپ x ها می باشد .یعنی انتقال در جهت منفی محور x ها است . در شکل زیر نمودار سبز رنگ [math]y=Sinx[/math] است و نمودار آبی رنگ نمودار[math] y = Sin(x + \frac{\pi }{2}) [/math] می باشد.
حالا برای فهم بهتر میخواهیم نمودار [math] y = Sin(x + k\pi ) [/math] رسم می کنیم .در فیلم می بینید که هر چی مقدار k افزایش می یابد ،نمودار بیشتر به سمت منفی محور x ها حرکت می کند.
نکته جالبی که وجود دارد انطباق [math] y = Sin(x + 2\pi ),y = Sinx [/math] دلیل این مساله دوره تناوب تابع سینوس است .دوره تناوب تابع سینوس برابر [math] 2\pi [/math] است.
در فیلم زیر بر عکس حالتهای [math] y = Sin(x – k\pi ) [/math] را بررسی می کنیم اینجا می بینیم که نمودار به سمت مثبت محور x ها حرکت می کند.