مثلثات بخش 6-روابط بین نسبت های مثلثاتی
روابط بین نسبتهای مثلثاتی
مثلث ABC را در نظر بگیرید ، دو ضلع قائم این مثلث معلوم هستند می خواهیم ضلع سوم یعنی وتر را بدست آوریم . خوب برای این کار با استفاده از قضیه فیثاغورث می توانیم اندازه وتر را حساب کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \\AB = 4 \\BC = 3 \\\end{array} \right\} \to {4^2} + {3^2} = A{C^2} \to 16 + 9 = A{C^2} \\\\25 = A{C^2} \Rightarrow AC = 5 \\[/math]
خوب اندازه وتر هم معلوم شد . حالا ، گام دوم :
زاویه [math] \alpha[/math] در بالا را ببینید ، به [math] Sin\alpha ,Cos\alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha [/math] نسبتهای مثلثاتی زاویه [math] \alpha[/math] گفته می شود . و به همین ترتیب برای زاویه
[math] \theta [/math] به [math] Sin\theta ,Cos\theta,\tan \theta,\cot \theta [/math] نسبتهای مثلثاتی زاویه [math] \theta [/math] گفته می شود.
حالا که مفهوم نسبتهای مثلثاتی برای هر زاویه را فهمیدیم دوباره بر می گردیم به مثلث بالا و میخواهیم برخی نسبتهای مثلثاتی را در آن معلوم کنیم .
می دانیم که :
با توجه به مطالب بالا و شکل مثلث بالا خواهیم داشت که برای زاویه آلفا نسبتهای زیر برقرار است :
[math]Sin\alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5} \\Cos\alpha = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{3}{5} \\\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{3} \\Cot\alpha = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{4} \\[/math]
از طرفی دیگر می دانیم که :
[math]\tan \alpha = \frac{{Sin\alpha }}{{Cos\alpha }} \\Cot\alpha = \frac{{Cos\alpha }}{{Sin\alpha }} \\[/math]
یک نکته مهم : فرق [math] Si{n^2}\alpha = ?,Sin{\alpha ^2} = ?[/math] چیست ؟
اول : [math] Si{n^2}\alpha [/math] را بررسی می کنیم . این خیلی ساده است یعنی سینوس در خودش ضرب شده است به عبارتی دیگر خود نسبت مثلثاتی به توان 2 رسیده است :
[math] Si{n^2}\alpha = Sin\alpha \times Sin\alpha [/math]
دوم : [math] Sin{\alpha ^2}[/math] مفهوم دیگری دارد اینجا خود زاویه به توان 2 رسیده است .و با حالت اول فرق دارد . پس همیشه به محل توان دقت کنید که آیا بالای نسبت مثلثاتی است یا زاویه .
اکنون با این مقدماتی که در بالا گفتیم حالا کم کم می رسیم به اثبات و بدست آوردن اولین فرمول و یا اتحاد بسیار پر کاربرد مثلثات .
مثلث بالا را باز در نظر بگیرید در این مثلث نسبتهای مثلثاتی زاویه آلفا را بدست آوردیم و قضیه فیثاوغورث را نیز در مورد این مثلث حساب کردیم و گفتیم که :
[math]Sin\alpha = \frac{{AB}}{{AC}} \\Cos\alpha = \frac{{BC}}{{AC}} \\[/math]
از قضیه فیثاغورث هم می دانیم که : [math] A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}[/math] پس اکنون با توجه به داده های ما می توانیم بنویسیم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}Sin\alpha = \frac{{AB}}{{AC}} \\Cos\alpha = \frac{{BC}}{{AC}} \\\end{array} \right\} \to Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{{A{C^2}}} \\[/math]
از قضیه فیثاغورث هم می دانیم که : [math] A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}[/math] پس اکنون با توجه به داده های ما می توانیم بنویسیم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{{A{C^2}}} \\A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \\\end{array} \right\} \to \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{C^2}}} = 1[/math]
پس اینجا ما اولین اتحاد مثلثاتی را بدست آوردیم
[math] Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = 1[/math]
نتایجی که از اتحاد بالا بدست می آید :
[math]Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow Si{n^2}\alpha = 1 – Co{s^2}\alpha \to Sin\alpha = \pm \sqrt {1 – Co{s^2}\alpha } \\\\Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow Co{s^2}\alpha = 1 – Si{n^2}\alpha \to Cos\alpha = \pm \sqrt {1 – Si{n^2}\alpha } \\[/math]
مثال : اگر [math] \alpha[/math] زاویه ای در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و [math] Sin\alpha = – \frac{4}{5}[/math] ، آنگاه مقدار بقیه نسبتهای مثلثاتی را بدست آورید .
چون گفته در ناحیه سوم مثلثاتی است پس از دایره مثلثاتی می دانیم که در ناحیه سوم سینوس و کسینوس منفی هستند اما بقیه نسبتها یعنی تانژانت و کتانژانت مثبت است .
از نتیجه اتحاد بالا می دانیم که کسینوس برابر :
[math] Cos\alpha = \pm \sqrt {1 – Si{n^2}\alpha } [/math]
حالا چون گفته در ناحیه سوم است و ناحیه سوم مثلثاتی کسینوس و سینوس منفی است پس اینجا ما منفی را در نظر می گیریم :
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {Cos\alpha = – \sqrt {1 – Si{n^2}\alpha } } \\ {Sin\alpha = – \frac{4}{5}} \\\end{array}} \right\} \to Cos\alpha = – \sqrt {1 – {{( – \frac{4}{5})}^2}} = – \sqrt {1 – \frac{{16}}{{25}}} = – \sqrt {\frac{9}{{25}}} = – \frac{3}{5} \\[/math]
اکنون که سینوس و کسینوس معلوم شد براحتی می توانیم مقادیر تانژانت و کتانژانت را نیز حساب کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{Sin\alpha }}{{Cos\alpha }} \\Cos\alpha = – \frac{3}{5} \\Sin\alpha = – \frac{4}{5} \\\end{array} \right\} \to \tan \alpha = \frac{{ – \frac{4}{5}}}{{ – \frac{3}{5}}} = \frac{4}{3} \\[/math]
و به همین ترتیب برای کتانژانت
[math]\left\{ \begin{array}{l}Cot\alpha = \frac{{Cos\alpha }}{{Sin\alpha }} \\Cos\alpha = – \frac{3}{5} \\Sin\alpha = – \frac{4}{5} \\\end{array} \right\} \to Cot\alpha = \frac{{ – \frac{3}{5}}}{{ – \frac{4}{5}}} = \frac{3}{4} \\[/math]
رابطه های تانژانت بر حسب کسینوس و کتانژانت بر حسب سینوس
- می دانیم که [math] Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = 1[/math] حالا اگر دو طرف این رابطه را بر توان 2 کسینوس تقسیم کنیم :
[math]\frac{{Si{n^2}\alpha }}{{Co{s^2}\alpha }} + \frac{{Co{s^2}\alpha }}{{Co{s^2}\alpha }} = \frac{1}{{Co{s^2}\alpha }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{Co{s^2}\alpha }} \\Cos\alpha \ne 0 \\\end{array} \right\} \\[/math]
- می دانیم که [math] Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha = 1[/math] حالا اگر دو طرف این رابطه را بر توان 2 سینوس تقسیم کنیم :
[math]\frac{{Si{n^2}\alpha }}{{Si{n^2}\alpha }} + \frac{{Co{s^2}\alpha }}{{Si{n^2}\alpha }} = \frac{1}{{Si{n^2}\alpha }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + Co{t^2}\alpha = \frac{1}{{Si{n^2}\alpha }} \\Sin\alpha \ne 0 \\\end{array} \right\} \\[/math]
تا اینجا ما سه اتحاد مثلثاتی بدست آوردیم که کاربردهای فراوانی در محاسبات دارد.
سوال : چگونه می توانیم ثابت کنیم بین دو عبارت مثلثاتی یک تساوی ( اتحاد) برقرار است ؟
جواب : برای این کار کافیست یک طرف تساوی را نوشته و با توجه به روابط بین نسبت های مثلثاتی به طرف دیگر برسیم .
مثال : درستی اتحاد مثلثاتی زیر را بررسی کنید .
[math] (Si{n^4}\alpha – Co{s^4}\alpha = Si{n^2}\alpha – Co{s^2}\alpha [/math]
جواب :با استفاده از اتحاد مزدوج خواهیم داشت که :
[math]Si{n^4}\alpha – Co{s^4}\alpha = \left\{ \begin{array}{l}(Si{n^2}\alpha – Co{s^2}\alpha ) \times (Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha ) \\(Si{n^2}\alpha + Co{s^2}\alpha ) = 1 \\\end{array} \right\} \to \\\\= (Si{n^2}\alpha – Co{s^2}\alpha ) \times 1 = (Si{n^2}\alpha – Co{s^2}\alpha ) \\[/math]