تست های کنکور سراسری بخش مجانب ها
تمرین 1:دو تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}},g(x) = \frac{{{x^2}}}{{x – 1}} [/math] مفروض اند .اگر A,B محل تلاقی مجانب های منحنی تابع (g-f) و O مبدا مختصات باشد،مساحت OAB کدام است ؟ (کنکور سراسری –ریاضی -1385)
1)3 2)4 3)5 4)6
پاسخ :
ابتدا باید ضابطه تابع [math]g-f[/math] را حساب کنیم .یعنی در واقع تفاضل دو تابع به صورت زیر است که برای بدست اوردن جواب نهایی باید مخرج مشترک بگیریم :
[math] g(x) – f(x) = \frac{{{x^2}}}{{x – 1}} – \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}(x + 2) – x(x + 1)(x – 1)}}{{(x – 1)(x + 2)}} = \\\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} – {x^3} + x}}{{(x – 1)(x + 2)}} = \frac{{2{x^2} + x}}{{(x – 1)(x + 2)}} [/math]
خوب حالا می بینیم که ما تابعی کسری بدست آوردیم .حالا باید ببینیم این کسر ما چه مجانبهایی دارد.
1-مجانب قائم ،چون تابع کسری است پس ریشه های مخرج می توانند مجانب قائم باشند به شرط انکه این ریشه ها صورت را صفر نکنند.
[math] (x – 1)(x + 2) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 0 \to x = 1\\x + 2 = 0 \to x = – 2\end{array} \right\} [/math]
خوب تا اینجا مجانب قائم بدست امد .حالا باید ببینیم آیا مجانب مایل و افقی دارد؟
برای مجانب افقی و مایل باید حد تابع را در بی نهایت [math] x \to \infty[/math] را حساب کنیم اگر نتیجه حد یک عدد شد انگاه ما دارای حد افقی هستیم اما اگر نتیجه حد ، بی نهایت شد ما دارای مجانب مایل هستیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} + x}}{{(x – 1)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} + x}}{{{x^2} + x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}} = 2 \Rightarrow y = 2 [/math]
پس مجانب افقی تابع به صورت بالا بدست آمد .اکنون مجانب های افقی و مجانب های قائمی که بدست اوردیم را روی نمودار رسم می کنیم .
شکل بالا محل تلاقی مجانب ها است . دو نقطه A و B در شکل بالا محل تلاقی مجانب ها را نشان می دهد . اکنون باید از نقاط A و B به مبدا مختصات وصل کنیم تا مثلث OAB بدست آید و مساحت آن را حساب کنیم :
مثلث آبی رنگ فوق را بدست آوریم حالا باید مساحت این مثلث را حساب کنیم :
[math] {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OH \times AB = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 [/math]
پاسخ درست گزینه 1
تمرین 2:دو تابع [math] f(x) = \frac{{x + 1}}{{x + \sqrt x }},g(x) = \frac{{1 – x}}{{x – \sqrt x }} [/math] مفروض اند تعداد مجانب های نمودار تابع [math](f+g)[/math] کدام است؟
1)صفر 2)1 3)2 4)3
(کنکور ریاضی خارج از کشور -1385)
پاسخ:
ابتدا ضابطه [math]f+g[/math] را بدست می اوریم از دو عبارت کسری مخرج مشترک می گیریم و آن را ساده می کنیم :
[math] f(x) + g(x) = \frac{{x + 1}}{{x + \sqrt x }} + \frac{{1 – x}}{{x – \sqrt x }} = \frac{{(x + 1)(x – \sqrt x ) + (1 – x)(x + \sqrt x )}}{{(x + \sqrt x )(x – \sqrt x )}}\\\\= \frac{{{x^2} – x\sqrt x + x – \sqrt x + x + \sqrt x – x\sqrt x – {x^2}}}{{{x^2} – x}} = \frac{{ – 2x\sqrt x + 2x}}{{{x^2} – x}}\\\\ = \frac{{ – 2x(\sqrt x – 1)}}{{x(x – 1)}} = \frac{{ – 2(\sqrt x – 1)}}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{ – 2}}{{(\sqrt x + 1)}} [/math]
اکنون که ضابطه تابع را حساب کردیم حالا نوبت محاسبه مجانب ها است.
1-مجانب قائم :تابع کسری است و می دانیم که ریشه توابع کسری برابر مجانب قائم است اما [math] \sqrt x + 1 [/math] هیچگاه صفر نمی شود پس مخرج کسر فاقد ریشه است در نتیجه تابع ما مجانب قائم ندارد.
2-مجانب افقی و مایل : برای این مجانب های باید حدتابع را در بی نهایت حساب کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ – 2}}{{\sqrt x + 1}} = 0 \Rightarrow y = 0 [/math]
چون حد تابع در بی نهایت برابر یک عدد شد پس مجانب ما افقی است .
حالا چون دیدیم که مجانب قائم ندارد و فقط یک مجانب افقی [math]y=0[/math] دارد
پس جواب ما گزینه 2 است.
تمرین 3:معادله مجانب افقی نمودار تابع با ضابطه [math] y = \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{3x + 2{x^2}}} [/math] کدام است ؟
[math] 1)\frac{\pi }{4}\\2)\frac{\pi }{3}\\3)\frac{\pi }{2}\\4)\pi [/math]
برای بدست آوردن مجانب افقی باید حد تابع را در بی نهایت حساب کنیم :
ابتدا یادآوری می کنم که تانژانت 90 درجه برابر بی نهایت می شود و چون [math] {\tan ^{ – 1}}x [/math] معکوس تابع تانژانت است پس برابر 90 درجه یا همان [math] \frac{\pi }{2} [/math]
[math] \tan \frac{\pi }{2} = \infty \Rightarrow {\tan ^{ – 1}}\infty = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ – 1}}x = \frac{\pi }{2} [/math]
اکنون با این مقدمه حد تابع را در مثبت و منفی بینهایت جداگانه حساب می کنیم دقت کنید که حد چند جمله ایها در بی نهایت برابر بزرگترین درجه چند جمله ای است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{3x + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{2{x^2}}} [/math]
درجه صورت و مخرج یکسان است پس برابر ضرایب [math] {x^2} [/math] خواهد شد:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\tan }^{ – 1}}x}}{2} = \frac{{\frac{\pi }{2}}}{2} = \frac{\pi }{4} [/math]
اکنون حد در منفی بی نهایت را حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{3x + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2}{{\tan }^{ – 1}}x}}{{2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{{\tan }^{ – 1}}x}}{2} = \frac{{ – \frac{\pi }{2}}}{2} = – \frac{\pi }{4} [/math]
تمرین 4:خط به معادله [math] y = \frac{3}{2} [/math] مجانب افقی تابع با ضابطه [math] f(x) = 2x – 1 + \sqrt {a{x^2} + bx} [/math] است،b کدام است ؟
1)10- 2)5- 3)5 4)10
(کنکور سراسری ریاضی-1387)
پاسخ:
می دانیم که برای بدست آوردن مجانب افقی باید حد تابع را در بی نهایت حساب کنیم :
یادآوری هم ارزی رادیکالی
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt {a{x^2} + bx} = \sqrt a |x + \frac{b}{{2a}}| [/math]
هم ارزی رادیکالی فوق را برای محاسبه حد بکار می بریم اکنو باید برای دو حالت مثبت بی نهایت و منفی بینهایت مجانب افقی را بررسی کنیم :
1)حالت [math] x \to + \infty [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {a{x^2} + bx} = \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x – 1 + \sqrt a x + \frac{{\sqrt a b}}{{2a}}) = + \infty [/math]
پس در حالت [math] x \to + \infty [/math] حد تابع برابر مثبت بی نهایت شد یعنی تابع مجانب افقی ندارد.
2)حالت [math] x \to – \infty [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {a{x^2} + bx} = – \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x – 1 – \sqrt a x – \frac{{\sqrt a b}}{{2a}}) = \frac{3}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(2 – \sqrt a ) + ( – 1 – \frac{b}{{2\sqrt a }}) = \frac{3}{2} [/math]
حاصل حد برابر عدد شده است ،بنابر این ضریب x باید صفر شود و مقدار عددی برابر [math] \frac{3}{2} [/math] باشد. داریم :
[math] 2 – \sqrt a = 0 \Rightarrow \sqrt a = 2 \Rightarrow a = 4\\\left\{ \begin{array}{l} – 1 – \frac{b}{{2\sqrt a }} = \frac{3}{2}\\a = 4\end{array} \right\} \Rightarrow – 1 – \frac{b}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow – \frac{b}{4} = \frac{5}{2} \Rightarrow b = – 10 [/math]
پس جواب گزینه 1 است .
تمرین 5:نمودار تابع با ضابطه [math] f(x) = \frac{{2{x^2} – 3x}}{{{{(x – 1)}^2}}} [/math] خط مجانب افقی خود را در نقطه A قطع می کند ، فاصله نقطه A از خط مجانب قائم کدام است ؟
[math] 1)\frac{1}{2}\\2)\frac{3}{2}\\3)1\\4)2 [/math]
(تست کنکور سراسری ریاضی -1388)
پاسخ:
ابتدا باید حد تابع را در بی نهایت حساب کنیم تا مجانب افقی تابع بدست آوریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} – 3x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} – 3x}}{{{x^2} – 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}} = 2 [/math]
پس خط [math]y=2[/math] مجانب افقی است.
چون گفته مجانب افقی را در نقطه A قطع می کند پس باید معادله [math]f(x)=2[/math] را حل کنیم تا مختصات نقطه A را تعیین کنیم :
[math] f(x) = 2 \Rightarrow \frac{{2{x^2} – 3x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = 2 \Rightarrow 2{x^2} – 3x = 2({x^2} – 2x + 1) \Rightarrow \\2{x^2} – 3x = 2{x^2} – 4x + 2 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow f(2) = \frac{{8 – 6}}{1} = 2 [/math]
پس مختصات نقطه برخورد برابر [math]A(2,2)[/math] است .اکنون مجانب قائم را حساب می کنیم .برای بدست آوردن مجانب قائم یک تابع کسری کافیست ریشه مخرج را حساب کنیم:
[math] {(x – 1)^2} = 0 \to x = 1[/math]
فاصله نقطه [math]A(2,2)[/math] از خط [math]x=1[/math] برابر است با:
[math]d=|2-1|=1[/math]
پس جواب گزینه 3 درست است.
تمرین 6:اضلاع مثلثی منطبق بر محور xها و مجانب های منحنی به معادله [math] y = (x – 1)\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} [/math] است.مساحت این مثلث کدام است ؟
1)3 2)3.5 3)4 4)4.5
(کنکور سراسری ریاضی خارج از کشور -1390)
ابتدا چون تابع کسری است پس با بدست آوردن ریشه مخرج مجانب قائم را حساب می کنیم:
[math] x + 1 = 0 \to x = – 1 [/math]
اکنون باید برای بدست اوردن مجانب افقی یا مایل حد تابع را در بی نهایت بدست آوریم . اگر حد تابع در بی نهایت برابر عدد شد تابع مجانب افقی دارد .اما اگر حد تابع در بی نهایت برابر بی نهایت شد تابع مجانب مایل دارد.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x – 1)\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} = \infty [/math]
تابع مجانب افقی ندارد پس باید مجانب مایل ان را حساب کنیم ابتدا هم ارزیهای زیر را یاداوری می کنیم:
مجانب | منحنی |
[math] y = mx + h + \sqrt a |x + \frac{b}{{2a}}| [/math] | [math] 1)y = mx + h + \sqrt {a{x^2} + bx + c} [/math] |
[math] y = mx + h + \sqrt[3]{a}\left( {x + \frac{b}{{3a}}} \right) [/math] | [math] 2)y = mx + h + \sqrt[3]{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}} [/math] |
[math] y = x + \frac{{a – b}}{2} [/math] | [math] 3)y = x\sqrt {\frac{{x + a}}{{x + b}}} [/math] |
[math] y = x + k + \frac{{a – b}}{2} [/math] | [math] 4)y = (x + k)\sqrt {\frac{{x + a}}{{x + b}}} [/math] |
با استفاده از هم ارزی 4 می توانیم مجانب مایل را حساب کنیم:
[math] (x – 1)\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \Rightarrow y = x + ( – 1) + \frac{{ – 1 – 1}}{2} = x – 1 – 1 = x – 2 [/math]
خط [math]y=x-2[/math] مجانب مایل است.
در شکل فوق مثلث مورد نظر ما به رنگ سبز نمایش داده شده است یک مثلث قائم الزاویه که یک ضلع قائم ان برابر 3 است پس مساحت این مثلث :
[math] {S_\Delta } = \frac{1}{2}(3)(3) = 4.5 [/math]
پس جواب درست گزینه 4 است.
تمرین 7:اگر محور yها ،تنها مجانب قائم نمودار تابع [math] f(x) = \frac{{{x^3} + ax – 2}}{{{x^2} – x}} [/math] باشد،آنگاه معادله مجانب مایل آن کدام است ؟
[math] 1)y = x – 2\\2)y = x – 1\\3)y = x + 1\\4)y = x + 2 [/math]
(کنکور تجربی خارج از کشور-1391)
پاسخ:
چون تابع کسری است ،مجانب قائم از ریشه های مخرج بدست می آید:
[math] {x^2} – x = 0 \to x(x – 1) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right\} [/math]
اینجا دو مجانب قائم بدست آوردیم اما [math]x=1[/math] مجانب قائم نیست چون طبق صورت سوال گفته فقط [math]x=0[/math] مجانب قائم است پس باید حتما [math]x=1[/math] ریشه صورت هم هست .چون در حساب کردن مجانب های قائم اگر ریشه مخرج ، ریشه صورت هم باشد آن ریشه را نمی توان به عنوان مجانب قائم قبول کرد پس اینجا حتما [math]x=1[/math] ریشه صورت نیز است پس :
[math] \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + ax – 2 = 0\\x = 1\end{array} \right\} \to 1 + a – 2 = 0 \to a = 1 [/math]
پس اکنون شکل تابع به صورت زیر خواهد بود:
[math] f(x) = \frac{{{x^3} + x – 2}}{{{x^2} – x}} [/math]
اکنون مجانب مایل را بدست می آوریم می دانیم که در توابع کسری به شکل [math] y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} [/math] که f,g دو چند جمله ای باشند ، اگر درجه f دقیقا یک واحد بیشتر از درجه g باشد،آنگاه خارج قسمت تقسیم صورت بر مخرج تابع ،مجانب مایل آن خواهد بود.
بنابر این خط [math]y=x+1[/math] مجانب مایل تابع است .پس گزینه 3 درست است.
تمرین 8:امتداد مجانب های نمودار تابع با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x} – \sqrt {{x^2} – 2x} [/math] نیم ساز ناحیه اول و سوم را در نقطه A و B قطع می کند.اندازه AB کدام است ؟
[math] 1)2\sqrt 2 \\2)4\\3)2\sqrt 5 \\4)4\sqrt 2 [/math]
(کنکور ریاضی -1394)
پاسخ:
ابتدا هم ارزی زیر را یادآوری می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt a |a + \frac{b}{{2a}}| [/math]
در هر یک از دو حالت [math] x \to + \infty ,x \to – \infty [/math] مجانب های تابع را تعیین کرده و نقطه برخورد ان را به خط y=x و نقاط A,B را مشخص می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} – \sqrt {{x^2} – 2x} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (|x + 1| – |x – 1|)\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 1 – x + 1) = 2 \Rightarrow y = 2 [/math]
وقتی x به سمت مثبت بی نهایت می رود تابع دارای مجانب افقی y=2 است .محل برخورد این خط با خط y=2 نقطه [math]A(2,2)[/math] است .
اکنون حد تابع را در منفی بی نهایت حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} – \sqrt {{x^2} – 2x} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (|x + 1| – |x – 1|)\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – x – 1 + x – 1) = – 2 \Rightarrow y = – 2 [/math]
در این حالت مجانب افقی خط [math]y=-2[/math] است و نقطه تقاطعش با خط y=x در نقطه [math]B(-2,-2)[/math] است .
اندازه AB برابر است با:
[math] |AB| = \sqrt {{{({x_B} – {x_A})}^2} + {{({y_B} – {y_A})}^2}} = \sqrt {{{( – 2 – 2)}^2} + {{( – 2 – 2)}^2}} = \\\sqrt {{{( – 4)}^2} + {{( – 4)}^2}} = \sqrt {16 + 16} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 [/math]
جواب گزینه 4 درست است.
تمرین 9:خط مجانب منحنی به معادله [math] y = \sqrt[3]{{8{x^3} + 2{x^2}}} [/math] محور y ها را با کدام عرض قطع می کند؟
[math] 1)\frac{1}{6}\\2)\frac{1}{3}\\3)\frac{2}{3}\\4)\frac{5}{6} [/math]
(کنکور سراسری ریاضی-1395)
پاسخ:
ابتدا هم ارزی زیر را برای زمانی که n فرد باشد را یاداوردی می کنیم:
[math] \sqrt[n]{{a{x^n} + b{x^{n – 1}} + …}} = \sqrt[n]{a}(x + \frac{b}{{na}}) [/math]
با استفاده از هم ارزی فوق ،معادله مجانب مایل را بدست می آوریم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{8{x^3} + 2{x^2}}} = \sqrt[3]{8}(x + \frac{2}{{3 \times 8}}) = 2(x + \frac{1}{{12}}) \Rightarrow y = 2x + \frac{1}{6} [/math]
اکنون برای یافتن محل برخورد مجانب مایل با محور عرضها x=0 در نظر می گیریم:
[math] \left\{ \begin{array}{l}y = 2x + \frac{1}{6}\\x = 0\end{array} \right\} \to y = 0 + \frac{1}{6} \to y = \frac{1}{6} [/math]
گزینه 1 جواب درست است.
تمرین 10: عرض از مبدا خط منحنی [math] y = x\sqrt {\frac{{4x – 3}}{{x – 1}}} [/math] کدام است ؟
[math] 1) – \frac{1}{2}\\2)\frac{1}{4}\\3)\frac{1}{2}\\4)\frac{3}{4}\\ [/math]
(تست کنکور سراسری –رشته ریاضی -96)
جواب :
ابتدا یادآوری می کنم که هم ارزی در توابع رادیکالی برای بدست آوردن مجانب مایل به صورت زیر است :
مجانب | منحنی |
[math] y = mx + h + \sqrt a |x + \frac{b}{{2a}}| [/math] | [math] 1)y = mx + h + \sqrt {a{x^2} + bx + c} [/math] |
[math] y = mx + h + \sqrt[3]{a}\left( {x + \frac{b}{{3a}}} \right) [/math] | [math] 2)y = mx + h + \sqrt[3]{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}} [/math] |
[math] y = x + \frac{{a – b}}{2} [/math] | [math] 3)y = x\sqrt {\frac{{x + a}}{{x + b}}} [/math] |
[math] y = x + k + \frac{{a – b}}{2} [/math] | [math] 4)y = (x + k)\sqrt {\frac{{x + a}}{{x + b}}} [/math] |
با توجه به جدول هم ارزیهای فوق که گفتیم جواب این تست بر اساس هم ارزی شماره 3 محاسبه می شود پس داریم (از عدد 4 زیر رادیکال فاکتور می گیریم ):
[math] y = x\sqrt {\frac{{4x – 3}}{{x – 1}}} = 2x\sqrt {\frac{{x – \frac{3}{4}}}{{x – 1}}} \to 2(x + \frac{{ – \frac{3}{4} + 1}}{2}) = 2x + \frac{1}{4} [/math]
پس جواب ما گزینه 2 خواهد بود .
تمرین 11:شکل زیر ،منحنی نمایش تغییرات تابع [math] y = \frac{{a{x^2} – 1}}{{x + b}} [/math] است. [math]a+b[/math] کدام است ؟
(تست کنکور سراسری-تجربی 96)
[math] 1)0\\2)\frac{1}{4}\\3)\frac{1}{2}\\4)2 [/math]
با نگاه به شکل به راحتی متوجه می شویم که این نمودار خط [math]x=0[/math] یک مجانب قائم است .و در توابع کسری ریشه مخرج برابر مجانب قائم است پس اینجا [math]b=0[/math]
از طرفی دیگر نقطه [math](2,0)[/math] روی نمودار تابع است یعنی مختصات ان در تابع صدق می کند :
[math] (2,0) \in f \Rightarrow 0 = \frac{{4a – 1}}{2} \to a = \frac{1}{4}\\a + b = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} [/math]
پس جواب گزینه 2 است .