روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا
در سال گذشته و همچنین در مطالب قبلی در مورد برخی اتحادهای مثلثاتی صحبت کردیم ،در این پست میخواهیم در مورد مجموع و تفاضل زوایا صحبت کنیم .ابتدا تساوی زیر را در نظر بگیرید که برقرار نیست .
[math] Cos(A – B) \ne CosA – CosB [/math]
تساوی فوق برقرار نیست چرا ؟ با عدد گذاری ثابت می کنیم که چرا تساوی فوق برقرار نیست :
فرض کنید که [math] A = \frac{\pi }{2},B = 0 [/math] پس در رابطه بالا جایگزاری می کنیم :
همانطور که در تساوی های بالا می بینید برای هر عبارت یک مقدار عددی متفاوتی بدست آمد پس باید عبارت صحیح را حساب کنیم .
در شکل زیر ،چهار ضلعی ABCD یک مستطیل است .اندازه پاره خط AF برابر 1 است و زوایای [math] \alpha ,\beta [/math]داده شده است .
اکنون در شکل بالا دو مثلث [math]AFD,FEC[/math] را در نظر می گیریم
می دانیم که زاویه E یک نیم صفحه است یعنی :
[math] FEC = \alpha [/math] | [math] \Rightarrow [/math] | [math] FEC + 90 + AEB = 180 [/math] | می دانیم که زاویه E یک نیم صفحه است |
[math] \alpha + 90 + AEB = 180 [/math] | مجموع زوایای داخلی ABE |
از طرف دیگر اضلاع AB و DC با هم موازی و پاره خط AF به صورت مورب آن را قطع کرده پس :
[math] AFD = \alpha + \beta [/math]
پس تا اینجا زوایای معلوم ما بصورت شکل زیر خواهد شد :
در شکل بالا مثلث ADF را در نظر بگیرید در این مثلث با توجه به اینکه قائم الزاویه است و وتر آن برابر 1 است . و با توجه به اینکه سینوس هر زاویه برابر ضلع روبرو تقسیم بر وتر و کسینوس برابر ضبع مجاور تقسیم بر وتر است پس خواهیم داشت که برای زاویه [math] \alpha + \beta [/math] داریم :
[math]Sin(\alpha + \beta ) = \frac{{AD}}{1} \Rightarrow AD = Sin(\alpha + \beta )[/math]
[math]Cos(\alpha + \beta ) = \frac{{DF}}{1} \Rightarrow DF = Cos(\alpha + \beta )[/math]
اکنون در این مرحله شکل مثلث ما با توجه به داده های بدست آمده بصورت زیر خواهد شد :
[membership level=”0″]
دسترسی کامل به این درس برای کاربران ویژه در نظر گرفته شده است.
[/membership]
[membership]
اکنون می رسیم به مثلث قائم الزاویه AEF ،در این مثلث وتر برابر 1 است و یک زاویه بتا [math] \beta [/math] داریم باز اینجا با محاسبه سینوس و کسینوس زاویه خواهیم داشت :
[math]Sin(\beta ) = \frac{{EF}}{1} \Rightarrow EF = Sin(\beta )\\Cos(\beta ) = \frac{{AE}}{1} \Rightarrow AE = Cos(\beta )[/math]
مثلث ABE را در نظر می گیریم اینجا ما زاویه آلفا دارم و اندازه وتر ما برابر [math] Cos(\beta ) [/math]
در این مثلث قائم الزاویه [math] \alpha [/math]
[math]Sin(\alpha ) = \frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{BE}}{{Cos\beta }} \to BE = Sin\alpha Cos\beta \\ Cos(\alpha ) = \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{Cos\beta }} \to AB = Cos\alpha Cos\beta[/math]
و در نهایت مثلث ECF را در نظر می گیریم اینجا ما زاویه آلفا دارم و اندازه وتر ما برابر [math] Sin(\alpha [/math]در این مثلث قائم الزاویه [math] \alpha [/math]
[math] Sin(\alpha ) = \frac{{FC}}{{EF}} = \frac{{FC}}{{Sin\beta }} \to FC = Sin\alpha Sin\beta \\ Cos(\alpha ) = \frac{{EC}}{{EF}} = \frac{{EC}}{{Sin\beta }} \to EC = Cos\alpha Sin\beta [/math]
ما تا این مرحله تمام اضلاعمون اندازه های آن مشخص شده ، فیلم زیر را مشاهده کنید :
در واقع با توجه به فیلم شکل نهایی ما به صورت زیر خواهد شد :
شکل ما یک مستطیل بود که اکنون با استفاده از تساوی اضلاع در مستطیل می توانیم نتیجه بگیریم که :
[math] AD = BE + EC \Rightarrow Sin(\alpha + \beta ) = Sin\alpha Cos\beta + Cos\alpha Sin\beta \\ DF = AB – FC \Rightarrow Cos(\alpha + \beta ) = Cos\alpha Cos\beta – Sin\alpha Sin\beta [/math]
پس تا اینجا ما فرمول زیر را بدست آوردیم :
[math]Sin(\alpha + \beta ) = Sin\alpha Cos\beta + Cos\alpha Sin\beta \\ Cos(\alpha + \beta ) = Cos\alpha Cos\beta – Sin\alpha Sin\beta[/math]
اکنون به راحتی با تبدیل [math] \beta [/math] به منفی بتا [math] -\beta [/math] می توانیم تفاضل دو زاویه را بدست آوریم :
[math]Sin(\alpha – \beta ) = Sin(\alpha + ( – \beta )) = Sin\alpha Cos( – \beta ) + Cos\alpha Sin( – \beta ) = Sin\alpha Cos\beta – Cos\alpha Sin\beta \\ Cos(\alpha – \beta ) = Cos(\alpha + ( – \beta )) = Cos\alpha Cos( – \beta ) – Sin\alpha Sin( – \beta ) = Cos\alpha Cos\beta + Sin\alpha Sin\beta[/math]
پس فرمول تفاضل زوایا بصورت زیر خواهد شد :
[math] Sin(\alpha – \beta ) = Sin\alpha Cos\beta – Cos\alpha Sin\beta \\ Cos(\alpha – \beta ) = Cos\alpha Cos\beta + Sin\alpha Sin\beta[/math]
یک پیشنهاد
ما تا اینجا 4 فرمول بدست آوردیم ،که شما باید همیشه آنها را حفض کنید .مسلما حفظ این 4 فرمول کمی دردسر و سخت هست و ممکنه فراموش کنید پس چکار باید کرد . من ترجیح می دهم فقط یک فرمول را حفظ کنم و آن هم :
[math] Cos(\alpha – \beta ) = Cos\alpha Cos\beta + Sin\alpha Sin\beta [/math]
در کسینوس را در هر ضرب می کنیم و از دو سینوس که در هم ضرب کردیم کم می کنیم .
پس سوال اینه ،بقیه فرمولها رو چکار کنیم ؟
شما با حفظ تنها فرمول بالا خیلی راحت میتوانید فرمول جمع را با جایگزاری یک زاویه منفی و قرینه حساب کنید
[math] Cos(\alpha + \beta ) = Cos(\alpha – ( – \beta ))\\ = Cos\alpha Cos( – \beta ) + Sin\alpha Sin( – \beta )\\ = Cos\alpha Cos\beta – Sin\alpha Sin\beta [/math]
سینوس جمع و تفریق را چگونه باید حساب کنیم ؟
ما از زوایای متمم یاد گرفتیم که :
[math]Cos(\frac{\pi }{2} – \alpha ) = Sin\alpha[/math]
با استفاده از رابطه بالا من میتونم بنویسم که :
[math] Cos(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = – Sin\alpha \\ Cos\left[ {\frac{\pi }{2} – (\alpha + \beta )} \right] = Sin(\alpha + \beta )\\ Cos\left[ {(\frac{\pi }{2} – \alpha ) – \beta )} \right] = Sin(\alpha + \beta )\\[/math]
اکنون با استفاده از کسینوس تفاضل دو زاویه که فرمول آن را حفظ کرده ایم خواهیم داشت :
[math] Cos\left[ {(\frac{\pi }{2} – \alpha ) – \beta )} \right] = Cos(\frac{\pi }{2} – \alpha )Cos\beta + Sin(\frac{\pi }{2} – \alpha )Sin\beta = Sin(\alpha + \beta )\\ Sin\alpha Cos\beta + Cos\alpha Sin\beta = Sin(\alpha + \beta )\\[/math]
اکنون با بدست آوردن فرمول جمع دو زاویه برای سینوس خیلی راحت می توانیم در آن با استفاده از قرینه و منفی کردن زاویه بتا ، فرمول تفاضل را حساب کنیم :
[math]Sin\left[ {(\alpha + ( – \beta )} \right] = Sin\alpha Cos( – \beta ) + Cos\alpha Sin( – \beta )\\ Sin(\alpha – \beta ) = Sin\alpha Cos\beta – Cos\alpha Sin\beta[/math]
مثال 1: مقادیر کسینوس های زیر را حساب کنید :
[math] 1)Cos15[/math]
[math]2)Cos\frac{{5\pi }}{{12}}[/math]
[math] 3)Cos735\\735 = 2 \times 360 + 15 = 2\pi + 15\\ Cos(2\pi + 15) = Cos(15)\\ Cos(15) = Cos(15 – 30) = Cos45Cos30 + Sin45Sin30\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}[/math]
[math] 4)Sin75 [/math]
[math] 5)Sin40^\circ Cos160^\circ – Cos40^\circ Sin160^\circ \\ = Sin(40^\circ – 160^\circ )\\ = Sin( – 120^\circ )\\ = – Sin120^\circ \\ = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} [/math]
مثال 2:ثابت کنید تساوی زیر برقرار است .
[math] Sin(\frac{\pi }{6} + \theta ) + Cos(\frac{\pi }{3} + \theta ) = Cos\theta [/math]
ابتدا با استفاده از فرمولها جمع و تفریق زوایا عبارت بالا را حساب می کنیم:
[math] = (Sin\frac{\pi }{6}Cos\theta + Cos\frac{\pi }{6}Sin\theta ) + (Cos\frac{\pi }{3}Cos\theta – Sin\frac{\pi }{3}Sin\theta ) [/math]
[math] = (\frac{1}{2}Cos\theta + \frac{{\sqrt 3 }}{2}Sin\theta ) + (\frac{1}{2}Cos\theta – \frac{{\sqrt 3 }}{2}Sin\theta )\\ = \frac{1}{2}Cos\theta + \frac{1}{2}Cos\theta = Cos\theta [/math]
مثال 3: با استفاده از روابط نسبتهای مجموع دو زاویه نشان دهید که :
[math] Sin2\alpha = 2Sin\alpha Cos\alpha \\ Cos2\alpha = Co{s^2}\alpha – Si{n^2}\alpha [/math]
راه حل :
[math] Sin2\alpha = Sin(\alpha + \alpha )\\ = Sin\alpha Cos\alpha + Cos\alpha Sin\alpha = 2Cos\alpha Sin\alpha \\ 2Sin\alpha Cos\alpha \\ \\ Cos2\alpha = Cos(\alpha + \alpha )\\ Cos\alpha Cos\alpha – Sin\alpha Sin\alpha = Co{s^2}\alpha – Si{n^2}\alpha [/math]
[/membership]