تعریف مشتق چپ و راست
تعریف مشتق چپ و راست
از مطالب گذشته فهمیدیم که مشتق تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] به صورت :
[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]
تعریف می شود.حالا اگر جواب حد بالا موجود نباشد می گوییم تابع [math]f[/math] در [math]x=a[/math] مشتق پذیر نیست.
مثال1:مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده بدست آورید.
[math] 1)f(x) = {x^2} + 1\\f'(1) = ? [/math]
داریم :
[math] f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1 – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 [/math]
مشتق تابع [math] f(x) = {x^2} + 1 [/math] در نقطه [math]x=1[/math] برابر 2 شد .یعنی شیب خط مماس بر منحنی تابع [math] f(x) = {x^2} + 1 [/math] برابر 2 است. معادله خط مماس بر این تابع بصورت زیر محاسبه می شود.
[math] y – f(1) = f'(1)(x – 1)\\y – 2 = 2(x – 1)\\y = 2x [/math]
در شکل بالا نمودار منحنی (سبز رنگ) نمایش داده شده و همچنین خط آبی رنگ مماس بر این منحنی در نقطه [math]x=1[/math] می باشد شیب این خط مماس با استفاده از مشتق حساب کردیم که برابر 2 بود.
[math] 2)f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \frac{1}{x}}&{x \ne 0}\\0&{x = 0}\end{array}} \right\} [/math]
مشتق این تابع را در نقطه [math]x=0[/math] بدست آورید.
[math] f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} = \infty [/math]
مشتق تابع فوق وجود ندارد چون برابر بی نهایت شد پس در [math]x=0[/math] مشتق پذیر نیست .نمودار [math] \sin \frac{1}{x} [/math] به صورت زیر است
فلاشهای سبز رنگ در شکل بالا نشون میده که وقتی x به سمت صفر مثبت یا منفی میل می کند تابع ما به سمت مثبت یا منفی بی نهایت میل می کند .
[math] 3)f(x) = |x|\sqrt {x + 2} \\f'(0) = ? [/math]
مشتق تابع در نقطه [math]x=0[/math] :
[math] f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|\sqrt {x + 2} – 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|\sqrt {x + 2} }}{x} [/math]
چون حد بدست آمده دارای قدر مطلق است پس دو حالت باید بررسی کنیم :
[math] 1)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{|x|\sqrt {x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x\sqrt {x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 2} = \sqrt 2 \\\\2)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{|x|\sqrt {x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ – x\sqrt {x + 2} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} – \sqrt {x + 2} = – \sqrt 2 [/math]
خوب می بینیم که حاصل مشتق بالا دارای دو عدد متفاوت شد یعنی حد چپ و حد راست هر کدام یک عدد به دست آمد . به تعبیر هندسی این تابع در نقطه [math]x=0[/math] دارای دو مماس بر منحنی است.
در فیلم بالا نمودار تابع داده شده را مشاهده می کنید . خط سبز رنگ [math] y = \sqrt 2 x\ [/math] یکی از مماسهای بر منحنی در نقطه [math]x=0[/math] است و خط قرمز رنگ [math] y =- \sqrt 2 x\ [/math] مماس دیگری بر منحنی در نقطه [math]x=0[/math] است. خوب دیدیم که این منحنی در یک نقطه دارای دو خط مماس شد.
با این مقدمه حالا وقتشه که بریم سراغ تعریف مشتق چپ و راست
تعریف:
مشتق راست و مشتق چپ تابع [math]f[/math] در [math]x=a[/math] را با [math] {{f’}_ + }(a),{{f’}_ – }(a) [/math] نمایش می دهیم و آن را به صورت زیر تعریف می کنیم:
[math] {{f’}_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}},{{f’}_ – }(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]
یا می توانیم به صورت معادل زیر تعریف کنیم :
[math] {{f’}_ + }(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h},{{f’}_ – }(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h} [/math]
نکته بسیار مهم : با توجه به تعریف مشتق چپ و مشتق راست ، نتیجه می گیریم تابع در نقطه ای زمانی مشتق پذیر است که مشتق چپ و مشتق راست برابر باشند.
مثال 2:مشتق پذیری تابع [math] f(x) = |{x^2} – 1| [/math] را در نقطه [math]x=1[/math] بررسی کنید.
مشتق راست :
[math] {{f’}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{|{x^2} – 1| – 0}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 1) = 2 [/math]
مشتق چپ
[math] {{f’}_ – }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{|{x^2} – 1| – 0}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{ – (x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} – (x + 1) = – 2 [/math]
چون مشتق چپ و راست برابر نیستند پس تابع مشتق پذیر نیست.
مثال 3:مشتق پذیری تابع [math] f(x) = (x – 1)[x] [/math] را در نقطه [math]x=1[/math] بررسی کنید.
این تابع در [math]x=1[/math] پیوسته است زیرا :
[math] f(1) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x – 1)[x] = 0 \times 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x – 1)[x] = 0 \times 0 = 0 [/math]
اکنون مشتق پذیری را بررسی می کنیم:
[math] {{f’}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x – 1)[x] – 0}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} [x] = 1\\\\{{f’}_ – }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} [x] = 0 [/math]
تابع در [math]x=1[/math] مشتق پذیر نیست.
مثال 4:مشتق پذیری تابع زیر را در [math]x=1[/math]بررسی کنید:
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x – 1)}^2}\sin \frac{1}{{x – 1}}}&{x \ne 1}\\0&{x = 1}\end{array}} \right\} [/math]
مشتق چپ و راست را بررسی می کنیم :
[math] {{f’}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{{(x – 1)}^2}\sin \frac{1}{{x – 1}} – 0}}{{x – 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x – 1)\sin \frac{1}{{x – 1}} = 0 \times \sin \frac{1}{{x – 1}} = 0\\\\{{f’}_ – }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{{(x – 1)}^2}\sin \frac{1}{{x – 1}} – 0}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x – 1)\sin \frac{1}{{x – 1}} = 0 \times \sin \frac{1}{{x – 1}} = 0 [/math]