ارتباط مشتق پذیری و پیوستگی
ارتباط مشتق پذیری و پیوستگی
در مطالب قبلی در مورد مشتق پذیری تابع در یک نقطه صحبت کردیم .
گفتیم اگر تابعی بخواهد در یک نقطه مشتق پذیر باشد باید مشتق چپ و راست اون تابع در آن نقطه برابر باشند .در واقع تابع باید قبل از هر چیزی در آن نقطه حد داشته باشد .
یعنی اول باید ببینیم تابع ما اصلا در آن نقطه حد دارد ؟ یا نه ؟ اگر حد نداشته باشد پس در آن نقطه نمی توان در مورد مشتق پذیر آن صحبت کرد.
اما ممکنه تابع حد داشته باشد اما در آن نقطه مشتق پذیر نباشد.
ما اکنون به استدلالی قویتر نیاز داریم . بزارید ببینیم پیوستگی چطوره ؟ اگر تابعی پیوسته نباشد ؟ آیا تابع ما می تونه در آن نقطه مشتق پذیر باشد ؟
مثال 1: تابع با نمودار به صورت زیر داده شده است :
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x \ne 2}\\1&{x = 2}\end{array}} \right\} [/math]
نمودار تابع به صورت زیر داده شده است :
اکنون می خواهیم در مورد مشتق این تابع در نقطه [math]x=2[/math] صحبت کنیم می خواهیم ببینیم این تابع در این نقطه چه وضعیتی دارد؟ اول از همه ببینیم مقدار این تابع و حد آن در نقطه [math]x=2[/math] چگونه است ؟
مقدار تابع در [math]x=2[/math] بنابر ضابطه تعریف شده تابع برابر 1 است.
[math]f(2)=1[/math]
حد تابع در نقطه [math]x=2[/math] بنابر ضابطه تابع
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4 [/math]
پس تا اینجا حد تابع و مقدار تابع در نقطه [math]x=2[/math] را بدست آوردیم . اکنون اگر دقت کنیم می بینیم که مقدار تابع در نقطه [math]x=2[/math] با حد این تابع در این نقطه برابر نیست پس تابع ما پیوسته نیست .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2) [/math]
حالا که تابع پیوسته نیست . بزار ببینیم آیا در این نقطه [math]x=2[/math] مشتق پذیر است ؟
من ابتدا دو فرمول مشتق در نقطه را یادآوری می کنم .ما در مطالب گذشته مشتق تابع f در نقطه ای به طول [math]x=a[/math] را به یکی از دو صورت زیر حساب می کردیم:
[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h} [/math]
یا
[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]
فعلا در این مساله با استفاده از فرمول دوم ،مشتق تابع را در نقطه [math]x=2[/math] حساب می کنیم:
[math] f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) – f(2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 2}} = \frac{{4 – 1}}{0} = \pm \infty [/math]
حد فوق موجود نیست یعنی در واقع تابع در نقطه [math]x=2[/math] مشتق پذیر نیست.
در این مثال ما دیدیم تابع ما پیوسته نبود و در نتیجه مشتق پذیر هم نبود!
حالا سوال اصلی که مطرح می شود این است که آیا پیوستگی شرط لازم برای مشتق پذیری است ؟
قضیه 1:هر گاه تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] مشتق پذیر باشد ،آنگاه در این نقطه پیوسته است . (عکس آن صحیح نیست )
اثبات:چون [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] مشتق پذیر است یعنی [math] f'(a) [/math]
موجود است و برابر یک عدد حقیقی مانند [math]L[/math] است :
[math] f'(a) = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} = L\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) – f(a)) = L \times \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (x – a)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) – f(a)) = L \times 0 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) – \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(a) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a) [/math]
[math]f(a)[/math] یک عدد ثابت است و تساوی بالا محقق شد پس تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] پیوسته است.
نکته بسیار مهم(عکس قضیه بالا): اگر تابع [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] پیوسته نباشد آنگاه [math]f[/math] در نقطه [math]x=a[/math] مشتق پذیر هم نیست .
قضیه فوق را می توان به زبان ساده به شکل زیر بیان کرد ،بالا رفتن از پلکان را تصور کنید .پلکانی مانند شکل زیر :
اگر شما در پله دوم (پیوستگی) قرار بگیرید یعنی پله قبل از آن باید سالم بوده است و تابع حد داشته است. و اگر در پله سوم (مشتق پذیری) قرار بگیرید یعنی اینکه دو پله قبل سالم بوده اند و تابع پیوستگی و حد داشته است .
یعنی اگر بخواهیم تابع مشتق پذیر باشد حتما قبلش باید حد و پیوستگی داشته باشد .
مثال 2:مشتق پذیری تابع [math] f(x) = |{x^2} – 1| [/math] را در [math]x=1[/math] بررسی کنید.
[math] f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{|{x^2} – 1| – 0}}{{x – 1}} [/math]
تابع فوق چون قدر مطلق دارد پس باید مشتق چپ و راست را جداگانه حساب کنیم:
[math] {{f’}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{|{x^2} – 1| – 0}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + 1) = 2\\\\{{f’}_ – }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{|{x^2} – 1| – 0}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – ({x^2} – 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – (x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} – (x + 1) = – 2 [/math]
مشتق چپ و راست با هم برابر نیستند پس تابع در [math]x=1[/math]مشتق پذیر نیست .
مثال 3: آیا تابع زیر در [math]x=0[/math] مشتق پذیر است ؟
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{[x] + 1}&{x < 0}\\{1 + {x^2} + \sin x}&{x \ge 0}\end{array}} \right\} [/math]
این تابع در [math]x=0[/math] پیوسته نیست.
[math] \left\{ \begin{array}{l}f(x) = 1 + {x^2} + \sin x\\x = 0\end{array} \right\} \to f(0) = 1 + 0 + \sin 0 = 1 [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [x] + 1 [/math]
برای حد فوق باید حد چپ و راست را حساب کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [x] + 1 = 0 + 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} [x] + 1 = – 1 + 1 = 0 [/math]
حد چپ و راست برابر نیست پس پیوسته نیست لذا مشتق پذیر نیست.