مشتق توابع بخش 1- مفهوم و منشا مشتق

آشنایی با مفهوم مشتق

مقدمه

مفهوم مشتق یکی از مفاهیم ریاضی است ، مفهومی که از دو دیدگاه متفاوت می توان به آن نگاه کرد .

مفهوم اول روشی از دیدگاه فیزیک است که نیوتون آن را مطرح کرد و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کند.

اما مفهوم دوم لایب نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن خط مماس بر یک منحنی ، در هر نقطه دلخواه استفاده کرد.

نیوتن و لایب نیتس و همراه آنها دیگر ریاضیدانان مانند ،فرما ،گوس و پاسکال تعریف کلی مشتق را پیدا کردند و مفهوم آن را گسترش دادند و همچنین محاسبه آن را ساده کردند.و راه کاربرد آن را در تعیین ماکزیمم و مینیمم و حل بسیاری از مساله های مربوط به هندسه و مکانیک و جبر و فیزیک را نشان دادند.

بررسی شیب خط قاطع و خط مماس بر منحنی

در مقدمه گفتیم که تعیین معادله مماس بر منحنی و تعیین سرعت لحظه ای از دیدگاه دو دانشمند معروف مطرح شد.بنابر این برای پی بردن به این مفاهیم نیاز به مرور برخی مقدمات داریم از جمله مفهوم شیب خط !

شیب خط :

از مطالب گذشته که در این سایت نیز مفصل در مورد آنها صحبت کردیم شیب خط است.اگر مختصات دو نقطه از یک خط مشخص باشد [math] A({x_1},{y_1}) [/math] و [math] B({x_2},{y_2}) [/math] شیب خط را از رابطه زیر بدست می آوریم :

[math] m = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{x{}_2 – {x_1}}} [/math]

مثال 1: شیب هر یک از خط های زیر را بدست آورید.

در خط روبرو دو نقطه مشخص کرده ایم پس شیب این خط : [math] m = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{x{}_2 – {x_1}}} = \frac{{2 – 0}}{{2 + 1}} = \frac{2}{3} > 0 [/math]   شیب خط مثبت است
در خط روبرو دو نقطه دلخواه روی خط مشخص کردیم شیب این خط : [math] m = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{x{}_2 – {x_1}}} = \frac{{2 – 1}}{{ – 2 + 1}} =  – 1 < 0 [/math]   شیب خط منفی است .

 

شیب خط متقاطع با منحنی :

اگر نقاط [math] A(x{}_1,f(x{}_1)),B(x{}_2,f(x2)) [/math] دو نقطه روی منحنی شکل زیر باشند.

آنگاه شیب خط قاطع AB بصورت زیر محاسبه می شود:

[math] {m_{AB}} = \frac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}} [/math]

مثال 2:با توجه به فرمول بالا در شکل زیر شیب خط را می توان بدست آورد :

تا اینجای کار دانستیم که اگر مختصات دو نقطه از یک خط مشخص باشد برای بدست آوردن شیب خط مشکلی نداریم .اما سوال مهم این است که شیب خط مماس را چگونه بدست می آوریم ؟

 

خط مماس

تعریف خط مماس: خطی است که یک منحنی را فقط و فقط در یک نقطه لمس می کند .

مانند شکل زیر :

اکنون به کمک نمودار در فیلم زیر خط مماس بر منحنی را نشان می دهیم . نقطه ثابت A را روی منحنی زیر در نظر می گیریم.خطی که از A و B می گذرد یک خط قاطع نامیده می شود که در بالای همین متن تعریف آن را مطرح کردیم . اکنون روی منحنی نقطه B را به نقطه A نزدیک می کنیم و خط های گذرنده از این دو نقطه را رسم می کنیم (رفتار این نزدیک شدن را در فیلم زیر می بینید).وقتی نقطه B به قدر کافی به A نزدیک می شود خط قاطع تبدیل می شود به خط مماس بر منحنی در نقطه A .

خط قرمز رنگ ظاهر شده در فیلم بالا خط مماس بر منحنی را نشان می دهد.

مثال 3:شیب خط مماس بر نمودار [math] y = {x^2} [/math] را در نقطه [math]A(2,4)[/math]  بدست آورید.

ابتدا نمودار و نقطه را به شکل زیر رسم می کنیم :

شکل بالا نمودار و خط مماس بر منحنی در نقطه داده شده را رسم  کرده است.ما اینجا فقط یک نقطه به ما داده است بنابر این نمی توانیم از فرمول شیبی که تا الان یادگرفتیم استفاده کنیم.اما می توانیم شیب خط را به صورت تقریبی حدس بزنیم .

ما نقطه ای بسیار نزدیک به نقطه [math]A(2,4)[/math]   داده شده را مثلا [math]B(2.1,4.41)[/math]   روی منحنی در نظر می گیریم و نقاط A و B را به هم وصل می کنیم این خط قطعا  منحنی را قطع خواهد کرد و شیب آن برابر است با :

[math] {m_{AB}} = \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}} = \frac{{{y_B} – {y_A}}}{{{x_B} – {x_A}}} = \frac{{4.41 – 4}}{{2.1 – 1}} = \frac{{0.41}}{{0.1}} = 4.1 [/math]

شیب خط قاطع AB برابر [math]4.1[/math] است . این شیب خط تقریبی است اما باید دقت کنیم که عدد 4.1 برای شیب خط مماس یک مقدار واقعی نیست بلکه یک مقدار تقریبی و نزدیک به شیب واقعی است.ما برای بدست آوردن شیب خط مماس باید نقطه A را به نقطه B بسیار نزدیک کنیم .

مثلا اگر داشته باشیم که نقطه [math]B(2.01, 4.0401)[/math]   یعنی نقطه B را باز به نقطه A نزدیکتر کردیم آنگاه شیب خط قاطع برابر خواهد بود با :

[math] {m_{AB}} = \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}} = \frac{{{y_B} – {y_A}}}{{{x_B} – {x_A}}} = \frac{{{\rm{4}}{\rm{.0401}} – 4}}{{2.01 – 1}} = \frac{{{\rm{0}}{\rm{.0401}}}}{{0.01}} = 4.01 [/math]

ماهر چه به نقطه A نزدیکتر می شویم شیب خط ما نیز به عدد 4 نزدیکتر می شود.

فرمول کلی در مورد شیب خط مماس

اگر تابع f یک تابع پیورسته در بازه [math][a,b][/math] باشد  و [math] {x_2} = {x_1} + \Delta x,{x_1} [/math] در فاصله [math](a,b)[/math] باشند . نمودار تابع و نقاط [math] ({x_1}f({x_1})),({x_1} + \Delta x,f({x_1} + \Delta x)) [/math] باشند مانند شکل زیر :

شیب خط قاطع AB را به صورت زیر حساب می کنیم :

[math] {m_{AB}} = \frac{{{y_B} – {y_A}}}{{{x_B} – {x_A}}} = \frac{{f({x_1} + \Delta x) – f({x_1})}}{{{x_1} + \Delta x – {x_1}}} = \frac{{f({x_1} + \Delta x) – f({x_1})}}{{\Delta x}} [/math]

اکنون اگر نقطه B روی منحنی فوق را به سمت نقطه Aحرکت دهیم مقدار [math] \Delta x [/math]  کم کم کوچک می شود. و اگر نقطه B بسیار به نقطه A نزدیک شود در اینصورت [math] \Delta x [/math]  فوق العاده به صفر نزدیک می شود.

بنابر این شیب خط مماس بر منحنی در نقطه A به صورت حد زیر خواهد بود :

[math] m = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_1} + \Delta x) – f({x_1})}}{{\Delta x}} [/math]

• اگر حد بالا برابر عدد مشخصی باشد ،خط مماس بر منحنی در نقطه A وجود دارد و جواب آن حد همان شیب خط مماس است.
• اگر حد بالا برابر [math] + \infty [/math] یا [math] – \infty [/math] شود خط مماس بر منحنی بر محور x ها عمود است .
• اگر حد فوق دارای دو مقدار متفاوت شد آنگاه تابع دارای دو مماس بر منحنی است.

 

نکته مهم : فرمول بالا شیب خط مماس را بدست می آورد در واقع [math] f'(a) [/math] شیب خط مماس بر نمودار [math]y=f(x)[/math] در نقطه ای به طول [math]a[/math] واقع بر نمودار [math]f[/math] است .

بنابر این ،معادله خط مماس در نقطه ای به طول [math]a[/math] واقع بر منحنی [math]y=f(x)[/math] برابر است با :

[math] y – f(a) = f'(a)(x – a) [/math]

 

مثال 4: شیب و معادله خط مماس بر منحنی [math] f(x) = {x^2} [/math] را  در نقطه [math] (1,1) [/math]بدست آورید .

شیب خط مماس در نقطه [math](1,1)[/math] برابر است با :

[math] m = f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(1 + \Delta x) – f(1)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{(1 + \Delta x)}^2} – 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta {x^2} + 2\Delta x}}{{\Delta x}}\\= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x(\Delta x + 2)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 2) = 2 [/math]

 شیب خط برابر 2 شد پس معادله مماس بر منحنی :

[math] \left\{ \begin{array}{l}y – f(a) = f'(a)(x – a)\\f'(a) = 2\end{array} \right\} \to y – 1 = 2(x – 1) \to y = 2x – 1 [/math]

محاسبه [math] f'(a) [/math] به روشی دیگر

مشتق تابع در نقطه x=a راه به صورت :

[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) – f(a)}}{{\Delta x}} [/math]

تعریف کردیم . اکنون دستور دیگری برای مشتق f در نقطه x=a می یابیم که در برخی محاسبات کار را ساده تر می کند.

با استفاده از نمودار الف برای محاسبه مشتق f در a داریم :

[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) – f(a)}}{{\Delta x}} [/math]

اما در نمودار ب  راه دیگر محاسبه شیب خط مماس را نشان می دهد در این روش نقطه دلخواه B را با مختصات [math](x,f(x))[/math] در نظر می گیریم شیب خط AB طبق نمودار ب به صورت زیر محاسبه می شود :

[math] {m_{AB}} = \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]

برای محاسبه شیب خط مماس کافی است نقطه B را به نقطه A نزدیک کنیم یعنی x را باید به a بسیار نزدیک کنیم . در این صورت شیب خط مماس برابر است با :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]

 به شرط آنکه حد فوق موجود باشد به عبارت دیگر :

[math] \mathop {f'(a) = \lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]

پس تا اینجا فرمولی دیگر برای محاسبه مشتق یا همان شیب خط مماس بر منحنی بدست آوردیم .

جمع بندی :ما برای محاسبه شیب خط مماس در نقطه یا همان مشتق تابع ،سه فرمول زیر را می توانیم استفاده کنیم:

• 1-تابع [math]y=f(x)[/math] در نقطه [math]x=a[/math] مشتق پذیر است هر گاه :

الف)تابع در [math]x=a[/math] پیوسته باشد.

ب)حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]

موجود باشد.

در اینصورت (برقراری شرط الف و ب) جواب حد اخیر را مشتق تابع f در x=aمی نامیم و آن را با [math] f'(a) [/math] نمایش می دهیم :

[math] \mathop {f'(a) = \lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} [/math]

2-حالا اگر در فرمول بالا به جای x قرار داهیم [math] a+\Delta x = x [/math] خواهیم داشت :

[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) – f(a)}}{{\Delta x}} [/math]

3-و اگر در فرمول بالا به جای [math] \Delta x[/math] مقدار [math]h[/math] یعنی [math]h=\Delta x [/math] قرار دهیم :

[math] f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h} [/math]

هر کدام از سه فرمول بدست آمده بالا را می توان برای تعریف مشتق یا همان شیب خط مماس بر منحنی استفاده کرد .

 

مثال 5:اگر [math] f(x) = {x^2} [/math] آنگاه [math] f'(3) [/math] را به روشهای مختلف بدست آورید.

روش اول استفاده از فرمول شماره 3

[math] f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(3 + h) – f(3)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(h + 3)}^2} – 9}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{h^2} + 6h + 9 – 9}}{h} = \\\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{h^2} + 6h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(h + 6)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (h + 6) = 6 [/math]

استفاده از فرمول شماره 1

[math] f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) – f(3)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 9}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x – 3)(x + 3)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6 [/math]

مثال 6:مشتق تابع [math] f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} [/math] را در نقطه [math]x=0[/math] بدست آورید.

چون این تابع در نقطه [math]x=0[/math] پیوسته نیست بنابر این مشتق پذیر نیست .

 

مثال 7:مشتق تابع [math] f(x) = \sqrt {{x^2} + 4x} [/math] را در نقطه [math]x=3[/math] بررسی کنید.

از فرمول شماره 1 استفاده می کنیم :

[math] f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) – f(3)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x}  – \sqrt {21} }}{{x – 3}} = \frac{0}{0} [/math]

مبهم شد پس با استفاده از روش رفع ابهام (ضرب در مزدوج) این حد را رفع ابهام می کنیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x}  – \sqrt {21} }}{{x – 3}} \times \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x}  + \sqrt {21} }}{{\sqrt {{x^2} + 4x}  + \sqrt {21} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 4x – 21}}{{(x – 3)(\sqrt {{x^2} + 4x}  + \sqrt {21} )}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x – 3)(x + 7)}}{{(x – 3)(\sqrt {{x^2} + 4x}  + \sqrt {21} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x + 7)}}{{\sqrt {{x^2} + 4x}  + \sqrt {21} }} = \frac{{10}}{{2\sqrt {21} }} = \frac{5}{{\sqrt {21} }} [/math]

پس مشتق برابر است با : [math] f'(3) = \frac{5}{{\sqrt {21} }} [/math]