نمونه سوالات امتحانی و تست های حل شده توابع زوج و فرد

آموزش توابع زوج و فرد

1-زوج و فرد بودن تابع [math] f(x) = {x^2} + \cos x [/math] را معلوم کنید .(امتحان نهایی حسابان دی ماه 91)

جواب

[math]{D_f} = R \\ f( – x) = {( – x)^2} + \cos ( – x) = {x^2} + \cos x = f(x) \\[/math]

تابع زوج است.

2-زوج یا فرد بودن تابع [math]f(x)=3x+sinx[/math] را مشخص کنید (امتحان نهایی حسابان-شهریور 91)

جواب:

[math]{D_f} = R \\ f( – x) = 3( – x) + \sin ( – x) =  – (3x + \sin x) =  – f(x) \\[/math]

پس تابع فرد است.

3-زوج یا فرد بودن تابع [math] f(x) = \frac{{{x^3} – 3x}}{{{x^2} – 1}}[/math] را معلوم کنید (امتحان نهایی حسابان-شهریور 90)

جواب:

[math]f(x) = \frac{{{x^3} – 3x}}{{{x^2} – 1}} \to f( – x) = \frac{{{{( – x)}^3} – 3( – x)}}{{{{( – x)}^2} – 1}} = \frac{{ – {x^3} + 3x}}{{{x^2} – 1}} =  – f(x) \\[/math]

پس تابع فرد است.

4-زوج یا فرد بودن تابع  [math] f(x)=x\sqrt {27 – 3{x^2}}[/math]  را معلوم کنید (امتحان نهایی حسابان-دی ماه 89)

جواب :

[math]f(- x) = (- x)\sqrt {27 – 3{{( – x)}^2}}  =  – x\sqrt {27 – 3{x^2}}  =  – f(x)[/math]

پس تابع فرد است.

5-به ازای کدام مقدار [math]m[/math] تابع با ضابطه [math] f(x) = \log \frac{{x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} [/math] یک تابع فرد است ؟ ( تست –سنجش جامع ریاضی -93)

1)4          2)1         3)4-                 4)هیچکدام

جواب

چون گفته تابع فرد است پس باید [math]f(-x)=-f(x)[/math]

[math]\log \frac{{ – x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} =  – \log \frac{{x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} \to  \\ \log \frac{{ – x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} + \log \frac{{x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} = 0 \to \log \frac{{\sqrt {{x^2} + m}  – x}}{2} =  – \log \frac{{\sqrt {{x^2} + m} + x}}{2} = 0 \\ \left\{ {\log ab = \log a + \log b} \right\} \\ \log \left[ {(\frac{{\sqrt {{x^2} + m}  – x}}{2})\frac{{\sqrt {{x^2} + m}  + x}}{2}} \right] = 0 \\ \log \left[ {\frac{{{x^2} + m – {x^2}}}{4}} \right] = \log \frac{m}{4} = 0 = \log 1 \to m = 4 \\[/math]

پس گزینه 1 صحیح است.

6-زوج و فرد بودن توابع زیر را بررسی کنید.

1-[math] f(x) = [{x^2}]|x| [/math]

[math]f( – x) = [{( – x)^2}]| – x| = [{x^2}]|x| = f(x)[/math]

تابع زوج است.

2-[math]f(x) = \log (2x + \sqrt {4{x^2} + 1}[/math]

[math]f( – x) = \log (2( – x) + \sqrt {4{{( – x)}^2} + 1}  = \log ( – 2x + \sqrt {4{x^2} + 1} )[/math]

تا اینجای کار چیزی معلوم نیست و داخل لگاریتم هنوز مشخص نیست که زوج است یا فرد ، لذا آن را در مزدوج عبارت داخل لگاریتم ضرب و تقسیم می کنیم.

[math]  = \log \left[ {\frac{{( – 2x + \sqrt {4{x^2} + 1} )(2x + \sqrt {4{x^2} + 1} )}}{{(2x + \sqrt {4{x^2} + 1} )}}} \right] \\  = \log (\frac{1}{{(2x + \sqrt {4{x^2} + 1} )}}) =  – \log (2x + \sqrt {4{x^2} + 1} ) =  – f(x) \\[/math]

پس تابع فرد است