حل معادله سینوسی
حل معادله سینوسی [math]Sinx=a[/math]
معادله ای که در آن اطلاعاتی از نسبتهای مثلثاتی یک زاویه مجهول داریم ،را یک معادله مثلثاتی می گوییم.
ما در بخشهای قبل در مورد تابع سینوس مفصل صحبت کردیم .اکنون ما می خواهیم در ادامه بحث معادلاتی را بررسی کنیم که در آن سینوس وجود دارد .ابتدا دوباره نمودار تابع سینوس را مرور می کنیم و از دیدگاهی عمیق تر به بررسی آن می پردازیم.
نمودار فوق در نقاط زیر محور x ها را قطع می کند یه به عبارتی دیگر در نقاط زیر [math]Sinx=0[/math] می شود:
[math] x = \{ …, – 3\pi , – 2\pi , – \pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi ,…\} [/math]
یعنی [math]Sinx[/math] به ازای هر مقدار داده شده فوق برابر صفر می شود ،فرم کلی این نقاط داده شده برای x را می توان بصورت کلی :
[math] x = k\pi [/math]
نمایش داد که k یک عدد صحیح است.
پس تا اینجا و با استفاده از نمودار تابع [math]Sinx[/math] فهمیدیم که سینوس در نقاطی به صورت [math] x = k\pi [/math] برابر صفر می شود.یعنی جواب معادله [math]Sinx=0[/math] برابر است با [math] x = k\pi [/math]
اکنون می پرسیم خوب اگر [math]Sinx=1[/math] چه جوابی دارد . باز دوباره بر می گردیم به نمودار سینوس با این تفاوت که این بار به دنبال مقادیری هستیم که [math]y=Sinx=1[/math] یعنی باید ببینیم در نمودار ما کجای نمودار [math]y=1[/math] می شود یا به عبارتی به ازای چه مقادیری خروجی تابع ما یک خواهد بود .به زبان ساده تر سینوس چه زاویه ای برابر یک می شود ؛در نگاه اول شاید بگوییم خوب مشخصه سینوس 90 درجه یا همان [math]\frac{\pi }{2}[/math] برابر با یک است .اما بد نیست دوباره نگاهی بندازیم به نموادار سینوس :
همانطور که در نمودار فوق می بینید اگر ما خط [math]y=1[/math] را رسم کنیم در نقاطی نمودار را قطع می کند که این نقاط در نمودار فوق مشخص شده اند .به ازای هر x :
[math] x = \{ …,\frac{\pi }{2} – 4\pi ,\frac{\pi }{2} – 2\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} + 2\pi ,…\} [/math]
معادله ما برقرار است یعنی اگر هر کدام از مقادیر بالا را در معادله به جای x قرار دهیم ،جواب ما [math]y=1[/math] خواهد بود .
پس به طور کلی جواب معادله ما به صورت [math] x = 2k\pi + \frac{\pi }{2} [/math]
پس تا اینجا فهمیدیم که
[math]Sinx = 0 \Rightarrow x = k\pi \\Sinx = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi }{2}[/math]
حال می خواهیم معادله [math] Sinx = \frac{1}{2} [/math] را بررسی کنیم
من ابتدا باید بدانم که سینوس در چه نقاطی برابر [math] \frac{1}{2} [/math] می شود. خوب در نگاه اول می داینم که سینوس در زاویه 30 درجه یا همان [math] \frac{\pi }{6} [/math] برابر با [math] \frac{1}{2} [/math] می شود .اما در دایره مثلثاتی علاوه بر [math] \frac{\pi }{6} [/math] در نقطه [math] \pi – \frac{\pi }{6} [/math] نیز سینوس برابر با [math] \frac{1}{2} [/math] است .شکل زیر را ببینید یک دایره مثلثاتی که در آن نقاطی را برای زوایای مختلف بدست آورده ایم .هر نقطه را با مختصات [math](Cosx,Sinx)[/math] نشان داده ایم .خوب حالا دقت کنید در دایره زیر کجاها سینوس برابر [math] \frac{1}{2} [/math] شده است .جواب اول نقطه [math](\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{1}{2})[/math] یعنی زاویه [math] \frac{\pi }{6} [/math] جواب دوم نقطه [math]( – \frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{1}{2})[/math] یعنی زاویه [math]\frac{{5\pi }}{6}[/math] است.
پس تا اینجا برای معادله [math] Sinx = \frac{1}{2} [/math] دو جواب روی دایره مثلثاتی پیدا کردیم :
[math]Sinx = \frac{1}{2} \to \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6} = \pi – \frac{\pi }{6}\end{array} \right\}[/math]
این دو جواب بدست آمده برای یک دور دایره است .یعنی ما اگر یک دور (360 درجه) روی دایره حرکت کنیم این دو جواب فوق را خواهیم داشت . اما ما می دانیم بی نهایت بار می توانیم روی دایره حرکت کنیم پس در واقع به ازای هر دور اضافه دور دایره ما دو جواب دیگر خواهیم داشت پس جواب کلی معادله [math] Sinx = \frac{1}{2} [/math] روی دایره مثلثاتی به ازای هر دوری که روی دایره بچرخیم بصورت زیر است :
با توجه به دایره فوق می دانیم با چرخش و دورانهای دیگر نقاط دیگری نیز در همین ناحیه اول و دوم بدست می آیند که سینوس آنها برابر [math] \frac{1}{2} [/math] است .تمام مقادیر زیر مجموعه جواب ما هستند :
همه مقادیر فوق جواب معادله ما هستند .از دیدگاه تابع و هندسی جواب معادله [math] Sinx = \frac{1}{2} [/math] از برخورد خط [math]y = \frac{1}{2}[/math] با نمودار سینوس ها بصورت شکل زیر است :
با توجه به نمودار فوق طول نقاط برخورد خط [math]y = \frac{1}{2}[/math] با نمودار [math]y=Sinx[/math] ریشه های معادله[math] Sinx = \frac{1}{2} [/math] هستند که بصورت زیر است :
جمع بندی:
در یک دایره مثلثاتی رابطه بین کمان معلوم [math] \alpha [/math] و کمان های مجهول x به طوری که[math] Sinx = Sin\alpha [/math] در دوران های مختلف به صورت زیر است :
[math] Sinx = Sin\alpha \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \alpha \\x = (2k + 1)\pi – \alpha \end{array} \right\}\\k \in Z\\ [/math]
پس نتیجه می گیریم
مثال 1:معادله [math] Sinx = – \frac{1}{2} [/math] را حل کنید.
[math]Sinx = – \frac{1}{2} = Sin( – \frac{\pi }{6})\\x = 2k\pi – \frac{\pi }{6}\\x = (2k + 1)\pi – ( – \frac{\pi }{6}) = (2k + 1)\pi + \frac{\pi }{6} = 2k\pi + \frac{{7\pi }}{6}[/math]
مثال 2:معادله [math] 4Sinx – 2 = 0 [/math] را حل کنید.
[math]4Sinx – 2 = 0 \Rightarrow Sinx = \frac{1}{2} = Sin\frac{\pi }{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi + \frac{\pi }{6}\\x = 2k\pi + \pi – \frac{\pi }{6}\end{array} \right\}[/math]
مثال 3:معادله [math] 2Sin(2x) – 1 = 0 [/math] را حل کنید.
[math]2Sin(2x) – 1 = 0 \Rightarrow 2Sin(2x) = 1 \to Sin(2x) = \frac{1}{2}\\Sin(2x) = Sin\frac{\pi }{6}\\\left\{ \begin{array}{l}2x = 2k\pi + \frac{\pi }{6} \to x = k\pi + \frac{\pi }{{12}}\\2x = 2k\pi + \pi – \frac{\pi }{6} = 2k\pi + \frac{{5\pi }}{6} \to x = k\pi + \frac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right\}[/math]
مثال 4:معادله [math] Si{n^2} – 3Sinx + 2 = 0 [/math] را حل کنید.
ابتدا فرض می کنی [math]Sinx=k[/math] پس داریم :
[math] \left\{ \begin{array}{l}Si{n^2} – 3Sinx + 2 = 0\\Sinx = k\end{array} \right\} \to {k^2} – 3k + 2 = 0\\(k – 1)(k – 2) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right\}[/math]
اکنون در معادله [math]Sinx=k[/math] مقادیر k را قرار می دهیم
[math] \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\Sinx = k\end{array} \right\} \to Sinx = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi }{2}\\\left\{ \begin{array}{l}k = 1\\Sinx = k\end{array} \right\} \to Sinx = 2[/math]
دقت کنید چون محدوده سینوس بین یک و منفی یک است پس وقت سینوس برابر 2 شد معادله جواب ندارد.