تابع لگاریتم
تابع لگاریتم
می دانیم که تابع نمایی [math] f(x) = {a^x} [/math] یک تابع یک به یک و وارون پذیر است ،وارون این تابع نمایی را تابع لگاریتمی می نامیم و می نویسیم :
[math] f(x) = {a^x} \Rightarrow {f^{ – 1}}(x) = \log _a^x [/math]
اگر در مورد تابع نمایی مشکل دارید حتما مطلب زیر را مطالعه کنید
خوب من الان برای فهم تعریف تابع لگاریتمی ،تلاش می کنم با مثالی این مساله را نشان دهم .ما در تابع نمایی با تابع [math] f(x) = {2^x} [/math] و نمودار آن آشنا شدیم .این تابع یک به یک و وارون پذیر بود .ما در توابع وارون پذیر گفتیم که هر تابع [math]f[/math] و وارون آن [math] f^{ – 1} [/math] نسبت به خط [math]y=x[/math] قرینه هستند . خوب حالا که نمودار تابع f را داریم برای بدست آوردن معکوس آن کافیست قرینه هر نقطه را نسبت به خط [math]y=x[/math] بدست آوریم .
مثلا می بینم که نقطه [math] \left( {2,4} \right) [/math] روی تابع نمایی [math] f(x) = {2^x} [/math]و نقطه [math] \left( {4,2} \right) [/math] که قرینه آن نسبت به خط [math]y=x[/math] است ، روی تابع وارون آن (تابع لگاریتمی) قرار دارد.
دامنه و برد این دو تابع بصورت زیر است :
[math]{D_f} = ( – \infty , + \infty ),{R_f} = (0, + \infty )\\{D_{{f^{ – 1}}}} = (0, + \infty ),{R_{{f^{ – 1}}}} = ( – \infty , + \infty )[/math]
دامنه [math]f[/math] با برد [math] f^{ – 1} [/math] برابر است و بر [math]f[/math] با دامنه [math] f^{ – 1} [/math]
پس با این مقدمه می رسیم به تعریف کامل تابع لگاریتمی
تعریف تابع لگاریتم
اگر aعددی مثبت و مخالف یک باشد [math] (a \ne 1,a > 0) [/math] تابع نمایی [math] f(x) = {a^x} [/math] یک به یک است و از این رو دارای تابع وارون [math] {f^{ – 1}} [/math] است که تابع لگاریتمی پایه a نامیده می شود و با نماد [math] y = \log _a^x [/math] نشان داده می شود.
نکته 1: دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی مثبت است و برد این تابع مجموعه اعداد حقیقی است و نمودار آن به دو حالت زیر است :
حالت 1:اگر [math]a>1[/math] نمودار تابع لگاریتمی بصورت زیر است :
1-نمودار فوق همواره صعودی است.
2-تابع [math] y = \log _a^x [/math] یک به یک است.
3-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\log _a^x) = – \infty [/math]
4-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\log _a^x) = + \infty [/math]
حالت 2: اگر [math]0<a<1[/math] باشد نمودار تابع لگاریتمی بصورت زیر خواهد بود .
1-نمودار همواره نزولی است.
2-تابع یک به یک است.
3-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\log _a^x) = + \infty [/math]
4-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\log _a^x) = – \infty [/math]
نکته مهم :همانطور که در دو حالت بالا مشاهده کردید ،تمام نمودارهای لگاریتمی از نقطه [math](1,0)[/math] عبور می کنند.
مثال 1: نمودار تابع [math] f(x) = – \log _2^{(x + 1)} [/math] را بدست آورید
بهترین روش برای رسم این نمودار استفاده از روش انتقال توابع است .
مرحله اول رسم نمودار تابع [math] f(x) = \log _2^x [/math] ،می توانید با استفاده از نقطه یابی این نمودار را رسم کنید .
[math](1,0)[/math] | [math]f(1)=0[/math] |
[math](2,1)[/math] | [math]f(2)=1[/math] |
[math](4,2)[/math] | [math]f(4)=2[/math] |
[math](8,3)[/math] | [math]f(8)=3[/math] |
با استفاده از این نقاط و خصوصیات نمودار لگاریتم یعنی حالت اول نمودار لگاریتم که در بالا گفتیم نمودار ما بصورت زیر خواهد بود .
مرحله دوم رسم نمودار [math] f(x) = \log _2^{(x + 1)} [/math] است که در اینجا یعنی باید نمودار تابع [math]f(x+1)[/math] را رسم کنیم یعنی نمودار [math] f(x) = \log _2^x [/math] به اندازه یک واحد به سمت چپ x ها منتقل خواهد شد.در واقع همان نمودار فوق را به اندازه یک واحد در جهت منفی محور x ها منتقل می کنیم.
نمودار آبی رنگ در شکل زیر نشان دهنده [math] f(x) = \log _2^{(x + 1)} [/math] است.
حالا این نمودار آبی رنگ [math] f(x) = \log _2^{(x + 1)} [/math] را باید در منفی ضرب کنیم یعنی قرینه اش نسبت به محور x ها را بدست آوریم تا [math] f(x) =- \log _2^{(x + 1)} [/math] بدست آید. خوب با استفاده از انتقال نمودارهای توابع ، قرینه این نمودار نسبت به محور x ها بصورت زیر خواهد بود .
نمودار نهایی ما به رنگ سبز در شکل بالا بدست آوردیم .در این مثال نشان دادیم که چگونه می توان با استفاده از انتقال نمودارهای توابع ، نمودار یک تابع لگاریتمی را می توان بدست آورد.
مثال 2:ضابطع تابع وارون [math] f(x) = \log _3^{(x – 2)} [/math] را بدست اورید.
می دانیم که تابع لگاریتم و نمایی معکوس یکدیگر هستند پس ابتدا x را بر حسب y حساب می کنیم :
[math] y = \log _3^{(x – 2)} \to {3^y} = x – 2\\x = {3^y} + 2[/math]
بنابر این ضابطه معکوس برابر است با :
[math] {f^{ – 1}}(x) = {3^x} + 2 [/math]