معادله نمایی
معادله نمایی
اگر b یک عدد مثبت باشد و [math] {b^x} = {b^y} [/math] آنگاه [math]x=y[/math] و بر عکس .
مثلا از تساوی [math] {2^x} = {2^8} [/math] می توان نتیجه گرفت که [math]x=8[/math]
ما در سالهای قبل قوانین توانهای طبیعی ،صحیح و گویای اعداد حقیقی را یاد گرفتیم این قوانین در معادلات نمایی بسیار کاربردی هستند .
[math]1){a^0} = 1\\2){a^{ – x}} = \frac{1}{{{a^x}}}\\3){a^x}.{a^y} = {a^{x + y}}\\4){({a^x})^y} = {a^{xy}}\\5){(ab)^x} = {a^x}.{a^y}\\6){(\frac{a}{b})^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\\7)\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x – y}}[/math]
بطور کلی ما برای حل معادله نمایی ،کافیست در دو طرف تساوی و با استفاده از قواعد توان تنها دو عبارت نمایی هم پایه ایجاد کنیم و سپس توانها را برابر کنیم. همچنین ما برای حل این معادلات گاهی از تغییر متغیر و گاهی از اتحاد یا لگاریتم و شاید هم تجزیه استفاده کنیم که در این مطلب با ذکر چند مثال مروری خواهیم داشت بر روشهای حل معادلات نمایی.
مثال 1: معادله [math] {3^{2x – 3}} = 81 [/math] را حل کنید .
برای حل این معادلات نمایی کافیست پایه ها را برابر کنیم
[math] {3^{2x – 3}} = 81 \to {3^{2x – 3}} = {3^4} [/math]
اکنون که پایه های مساوی شدند پس توانها نیز برابر خواهند شد :
[math] 2x – 3 = 4 \to x = \frac{7}{2} [/math]
نکته1 : بعضی وقتها با حالتهایی مواجه می شویم که پایه های معکوس یکدیگر هستند یعنی حاصلضرب پایه ها در هم برابر یک می شود اینجا کافیست با جایگزین کردن معکوس ، معادله را حل کنیم.
مثال 2:معادله [math] {(\sqrt 2 + 1)^{5x + 3}} = {(\sqrt 2 – 1)^x} [/math] را حل کنید.
اگر دقت کنیم می بینیم که [math] (\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 – 1) = 1 [/math] یعنی این دو معکوس یکدیگر هستند به تعبیری دیگر می توانیم بنویسیم :
[math] (\sqrt 2 – 1) = \frac{1}{{(\sqrt 2 + 1)}} = {(\sqrt 2 + 1)^{ – 1}} [/math]
حالا این را در معادله اصلی جایگزاری می کنیم:
[math]{(\sqrt 2 + 1)^{5x + 3}} = {(\sqrt 2 – 1)^x} = {({(\sqrt 2 + 1)^{ – 1}})^x} = {(\sqrt 2 + 1)^{ – x}}[/math]
طبق تساوی بالا پایه ها مساوی شدند پس توانها نیز مساوی خواهند بود :
[math] 5x + 3 = – x \to 6x = – 3 \to x = – \frac{1}{2} [/math]
نکته 2:گاهی برای حل معادلات نمایی باید از تغییر متغیر استفاده کرد .
گاهی با انتخاب متغیر مناسب ،معادله را به یک معادله جبری تبدیل می کنیم و به راحتی حل می شود .
مثال 3:معادله [math] {4^x} – {2^{x + 3}} + 16 = 0 [/math] را حل کنید.
ابتدا بصورت زیر معادله را تجزیه می کنیم
[math] {({2^2})^x} – {2^x} \times {2^3} + 16 = 0 \to {({2^x})^2} – {2^x} \times 8 + 16 [/math]
اکنون باید با استفاده از تغییر متغیر [math] {2^x} =t>0[/math] معادله را حل کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}{({2^x})^2} – {2^x} \times 8 + 16\\{2^x} = t\end{array} \right\} \to {t^2} – 8t + 16 = 0 \to {(t – 4)^2} = 0 \to t = 4\\ \\{2^x} = 4 \to x = 2[/math]
مثال 4:معادله [math] {7^{2x}} + {7^x} – 2 = 0 [/math] را حل کنید.
با فرض [math] {7^x} = t > 0 [/math] به معادله درجه دوم [math] {t^2} + t – 2 = 0 [/math] می رسیم که جوابهای آن برابر [math]t=1,t=-2[/math] و فقط جواب [math]t=1[/math] قابل قبول است پس:
[math]\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\{7^x} = t\end{array} \right\} \to {7^x} = 1 \to x = 0[/math]
مثال 5:ریشه های معادله [math] {(2 – \sqrt 3 )^x} + {(2 + \sqrt 3 )^x} = 4 [/math] را بدست آورید.
ابتدا می دانیم که [math] (2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = 1 [/math] معکوس یکدیگر هستند پس مانند مثال قبل می توانیم حل کنیم :
[math] (2 + \sqrt 3 ) = \frac{1}{{(2 – \sqrt 3 )}} = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}} [/math]
در معادله جایگزاری می کنیم :
[math](2 + \sqrt 3 ) = \frac{1}{{(2 – \sqrt 3 )}} = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}}\\{(2 – \sqrt 3 )^x} + {({(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}})^x} = 4\\{(2 – \sqrt 3 )^x} + {(2 – \sqrt 3 )^{ – x}} = 4[/math]
حالا نوبت تغییر متغیر است که با استفاده از تغییر متغیر[math] {(2 – \sqrt 3 )^x} = a [/math] معادله را حل کنیم:
[math]a + \frac{1}{a} = 4 \Rightarrow \frac{{{a^2} + 1}}{a} = 4 \Rightarrow {a^2} – 4a + 1 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \sqrt 3 \\ a = 2 – \sqrt 3 \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} {(2 – \sqrt 3 )^x} = {(2 – \sqrt 3 )^1} \Rightarrow x = 1\\ {(2 – \sqrt 3 )^x} = 2 + \sqrt 3 = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}} \Rightarrow x = – 1\end{array} \right\}[/math]
نکته 4: اگر نتوانیم پایه ها را مساوی کنیم ؟
در بعضی موارد پایه ها هیپ ارتباطی با هم ندارند . در این موارد باید از لگاریتم استفاده کنیم .در واقع در از دو طرف معادله لگاریتم در پایه a می گیریم .دقت کنید بهتر است که a را همان پایه ای بگیریم که مجهول را به توان دارد .
مثال 6: معادله [math] {7^{x – 2}} = 4 [/math] را حل کنید.
در اینجا چون طرف مجهول ما پایه 7 دارد پس بهتر است لگاریتم را درپایه 7 بگیریم :
[math]\log _7^{{7^{x – 2}}} = \log _7^4 \to (x – 2)\log _7^7 = \log _7^4 \to x – 2 = \log _7^4 \to \\x = \log _7^4 + 2[/math]
مثال 7:معادله [math] {2^{x + 1}} = {3^{x – 2}} [/math] را حل کنید.
در اینجا بهتر است ابتدا بهتر است ،پایه ها را یکسان کنیم:
[math]{2^{x + 1}} = {3^{x – 2}} \to {2^x} \times 2 = \frac{{{3^x}}}{{{3^2}}} \to {2^x} \times 2 = \frac{{{3^x}}}{9} \to \\ \frac{{{2^x}}}{{{3^x}}} = \frac{1}{{18}} \to {(\frac{2}{3})^x} = \frac{1}{{18}} [/math]
اکنون از هر دو طرف لگاریتم در پایه [math] \frac{2}{3} [/math] می گیریم
[math]x = \log _{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{{18}}} = – \log _{\frac{2}{3}}^{18} = \log _{\frac{3}{2}}^{18}[/math]