تابع صعودی و نزولی

تابع صعودی و نزولی

اگر در یک تابع با افزایش مقدار x  مقدار y  نیز افزایش یابد در این صورت ما تابع را اکیدا صعودی می نامیم .به تعبیری دیگر اگر به ازای هر x1 , x2   از دامنه تابع ، که [math] {x_1} < {x_2} [/math]  باشد آنگاه باید [math] f({x_1}) < f({x_2}) [/math]  باشد .

تابع اکیدا صعودی یعنی تابع در هیچ نقطه ای خروجی برابر ندارد و پیوسته در حال صعود است .

اما ممکن است  [math] {x_1} < {x_2} [/math]  اما تابع در نقاطی دارای خروجی برابر هم باشد اما همواره هم در حال صعود باشد ، اینجا می گوییم تابع صعودی است .یعنی:

[math] {x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \le f({x_2}) [/math]

تابع صعودی	[math] f({x_1}) \le f({x_2}) [/math]
تابع اکیدا صعودی	[math] f({x_1}) < f({x_2}) [/math]

 

فرق بین اکیدا صعودی و صعودی در همان علامت [math] < , \le [/math] می باشد .

در شکل بالا تابع صعودی را ببینید ، این تابع در یک جاهایی y ها به ازای x های مختلف مساوی می شوند پس تابع ما اینجا صعودی هست . اما در شکل سمت چپ تابع ما همواره صعودی است و هیچ y یا خروجی برابر ندارد پس اکیدا صعودی است .

مثال 1: صعودی بودن تابع [math] y = 2x – 3 [/math] را بررسی کنید.

[math] {x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} – 3 < 2{x_2} – 3 \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) [/math]

با استفاده از فرمول نشان دادیم تابع اکیدا صعودی است . از طرف دیگر اگر نمودار این تابع که یک خط مستقیم است را رسم کنیم :

با توجه به شکل بالا مشخص است که به ازای بزرگتر شدن x ها خروجی یعنی y ها نیز افزایش می یابد و در هیچ دو نقطه ای برابر نمی شوند پس تابع ما اکیدا صعودی است.

 

مثال 2 : صعودی بودن تابع [math] f(x) = \sqrt {x – 4} [/math]را بررسی کنید .

[math] {x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} – 4 < {x_2} – 4 \Rightarrow \sqrt {{x_1} – 4}  < \sqrt {{x_2} – 4}  \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) [/math]

این تابع نیز اکیدا صعودی است.

از نمودار این تابع مشحص است که اکیدا صعودی است .

 

به همین ترتیب برای تابع نزولی هم خواهیم داشت

اگر در یک تابع با افزایش مقدار x  مقدار y  نیز کاهش یابد در این صورت ما تابع را اکیدا نزولی می نامیم .به تعبیری دیگر اگر به ازای هر x1 , x2   از دامنه تابع ، که [math] {x_1} < {x_2} [/math]  باشد آنگاه باید [math] f({x_1}) > f({x_2}) [/math]  باشد .

تابع اکیدا نزولی یعنی تابع در هیچ نقطه ای خروجی برابر ندارد و پیوسته در حال نزول است .

اما ممکن است  [math] {x_1} < {x_2} [/math]  اما تابع در نقاطی دارای خروجی برابر هم باشد اما همواره هم در حال صعود باشد ، اینجا می گوییم تابع صعودی است .یعنی:

[math] {x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ge f({x_2}) [/math]

تابع نزولی	[math] f({x_1}) \ge f({x_2})  [/math]
تابع اکیدا نزولی	[math] f({x_1}) > f({x_2}) [/math]

 

فرق بین اکیدا نزولی و نزولی در همان علامت [math] > , \ge [/math] می باشد .

در یک  با افزایش x ،مقدار y کاهش می یابد یا مساوی مقدار قبل باقی می ماند .ولی در توابع اکیدا نزولی ، با افزایش x ،مقدار y فقط کاهش می باید.

 

مثال3 : نمودار تابع [math] y = |x – 2| – |x + 2| [/math] چگونه است ؟

لینک رسم توابع قدر مطلق

اگر نمودار این تابع را رسم کنیم خواهیم دید که به صورت زیر است

نمودار تابع با افزایش x ، مقدارش کاهش یافته یا ثابت می ماند پس این تابع نزولی است اما اگر دقت کنید تابع در بازه های [math] (2, + \infty ),( – \infty , – 2) [/math] ثابت است پس نزولی اکید نیست .تابع فقط در بازه [math](-2,2)[/math] اکیدا نزولی است .و بعد از این بازه ثابت است .پس تابع نزولی است.

 

مثال 4:تابع چند ضابطه ای زیر را بررسی کنید .

[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x \ge  – 1}\\2&{x <  – 1}\end{array}} \right\} [/math]

ابتدا با استفاده از رسم توابع چند ضابطه ای تابع فوق را رسم می کنیم

تابع به ازای [math]x<-1[/math] یک تابع ثابت است .

در بازه [math]-1<x<0[/math] تابع اکیدا نزولی است .

در بازه [math]x>0[/math] تابع اکیدا صعودی می باشد .

 

جزوه کامل مبحث توابع