تابع چند ضابطه ای
تابع چند ضابطه ای
گاهی مقدار تابع ، در سراسر دامنه تعریف خود، با یک ضابطه معلوم نمی گردد . یعنی باید ضابطه یا قانون تابع را با بیش از یک معادله بیان نمود که در این صورت تابع را چند ضابطه ای می نامند.
به تعبیری دیگر ،توابعی که در فواصل مختلف و در دامنه ای تعریف خود ،با ضابطه های مختلف تعریف شوند ، توابع چند ضابطه ای می نامند.
به طور کلی یک تابع چند ضابطه ای را بصورت زیر نمایش می دهیم .
[math]f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{f_1}(x)}&{x \in {D_1}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{f_2}(x)}&{x \in {D_2}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{f_3}(x)}&{x \in {D_3}}\end{array}\\.\\.\\\begin{array}{*{20}{c}}{{f_n}(x)}&{x \in {D_n}}\end{array}\end{array} \right\}\\[/math]
دامنه تعریف تابع [math]f[/math] دارای چند مجموعه جدا از هم [math] {D_1},{D_2},….,{D_n}[/math] ، از اجتماع این مجموعه ها دامنه تابع بدست می آید .همچنین دقت کنید که اشتراک این مجموعه ها تهی می باشد .به تعبیری دیگر این فواصل هیچ نقطه مشترکی با هم ندارند .مانند زیر ببینید که اشتراک دو به دو این فواصل با هم تهی می باشد.
[math]{D_1} \cap {D_2} = \phi \\{D_1} \cap {D_3} = \phi \\{D_3} \cap {D_2} = \phi \\..\\{D_n} \cap {D_{n – 1}} = \phi \\[/math]
توابع زیر چند ضابطه ای هستند .
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{x < 2}\\{ – 2x + 7}&{x \ge 2}\end{array}} \right\}\\g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x < 1}\\6&{x = 1}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{10 – x}&{x > 1}\end{array}\end{array} \right\}\\[/math]
تعیین مقدار تابع به ازای یک مقدار
برای تعیین مقدار تابع به ازای هر [math]x[/math] داده شده ،ابتدا باید مشخص کنیم که این [math]x[/math] متعلق به کدام یک از زیر مجموعه ها یا فواصل دامنه است ، سپس آن را در معادله تعریف شده اش ، قرار می دهیم.
مثال : تابع چند ضابطه ای زیر داده شده است .
[math]f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x \ge 1}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{ – 6}&{x = – 3}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&{x < – 5}\end{array}\end{array} \right\}\\[/math]
مقدار [math]f(2)[/math] و [math]f(f(-3))[/math] را بدست آورید.
جواب :
ابتدا می خواهیم [math]f(2)[/math] را بررسی و حساب کنیم . خوب اول باید ببینیم که [math]x=2[/math] در کدام بازه تابع چند ضابطه ای ما هست .با نگاه به تابع چند ضابطه ای می بینیم که این نقطه در بازه [math]x \ge 1[/math] قرار گرفته که در این بازه تابع ما معادله [math]{x^2}[/math] را دارد پس :
[math]f(2) \to \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {x^2}\\x = 2\end{array} \right\} \to f(2) = {2^2} = 4[/math]
اما برای [math]f(f(-3))[/math] ابتدا باید مقدار [math]f(-3)[/math] را بدست آوریم . خوب با نگاه به ضابطه تابع می فهمیم که به ازای [math]x=-3[/math] مقدار تابع ما برابر عدد منفی 6 است پس :
[math]f( – 3) = – 6[/math]
حالا می توان [math]f(f(-3))[/math] را حساب کرد :
[math]\left\{ \begin{array}{l}f( – 3) = – 6\\f(f( – 3)\end{array} \right\} \to f(f( – 3) = f( – 6)[/math]
پس با این حساب ما باید مقدار تابع [math]f(-6)[/math] را حساب کنیم .در واقع باید از ضابطه سوم تابع استفاده کنیم چون منفی 6 در محدوده ضابطه سوم تابع است:
[math]f( – 6) \to \left\{ \begin{array}{l}f(x) = x + 2\\x = – 6\end{array} \right\} \to f( – 6) = – 6 + 2 = – 4[/math]
دامنه تابع چند ضابطه ای
برای بدست آوردن دامنه یک تابع چند ضابطه ای کافیست اجتماع دامنه ضابطه ها را بدست آوریم .
مثال در توابع چند ضابطه ای زیر دامنه تابع را بدست آورید .
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{x < 2}\\{ – 2x + 7}&{x \ge 2}\end{array}} \right\}\\\\D = \left( {x < 2} \right) \cup \left( {x \ge 2} \right) = R\\[/math]
در تابع فوق از اجتماع هر دو دامنه ، دامنه تابع مجموعه اعداد حقیقی است .
[math]g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{ – 2 \le x \le 0}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}6&{0 < x \le 2}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{10 + x}&{2 < x \le 6}\end{array}\end{array} \right\}\\D = \left( { – 2 \le x \le 0} \right) \cup \left( {0 < x \le 2} \right) \cup \left( {2 < x \le 6} \right)\\D = \left[ { – 2,6} \right]\\[/math]
در شکل بالا کاملا هر بازه را با رنگی متفاوت نشان داده ایم ،اجتماع آنها دامنه تابع را مشخص می کند
تشخیص تابع بودن
برای تشخیص تابع بودن یک رابطه چند ضابطه ای باید اشتراک دامنه ها را بررسی کرد ، اگر اشتراک دامنه ها تهی باشد آن رابطه یک تابع چند ضابطه ای است .
به عبارتی دیگر اگر دامنه ها اشتراک داشته باشند ضابطه داده شده تابع نیست .مگر آنکه به ازای دامنه مشترک ، خروجی یعنی y برابر داشته باشد.
مثال : آیا تابع با ضابطه زیر یک تابع چند ضابطه ای است ؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x < 2}\\1&{x \ge 1}\end{array}} \right\}\\[/math]
باید اشتراک دامنه ها را حساب کنیم
[math] \left( {x < 2} \right) \cap \left( {x \ge 1} \right) = [1,2)[/math]
چون اشتراک دامنه ها تهی نشد پس تابع نیست
مثال : آیا تابع با ضابطه زیر یک تابع چند ضابطه ای است ؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 3}&{x \ge 1}\\{x – 2}&{x \le 1}\end{array}} \right\}\\[/math]
در مثال بالا اشتراک دامنه ها عدد یک است اما در نقطه اشتراک آنها که [math]x=1[/math] مقدار تابع را حساب می کنیم .
[math]x = 1 \Rightarrow f(x) = 2x – 3 \Rightarrow f(1) = 2(1) – 3 = – 1\\x = 1 \Rightarrow f(x) = x – 2 \Rightarrow f(1) = 1 – 2 = – 1\\\\[/math]
بنابر این به ازای دامنه مشترک [math]x=1[/math] مقدار y های بدست آمده برابر شد پس ضابطه داده شده تابع است .
مثال : آیا تابع با ضابطه زیر یک تابع چند ضابطه ای است ؟
[math]f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}x&{x > 0}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&{x \le 2}\end{array}\end{array} \right\}\\[/math]
در این تابع مشخص است که دامنه های آنها نقاط مشترک دارد ، یکی از این نقاط مشترک x=1 است
به ازای x=1 مقدار تاب به ازای ضابطه بالا برابر یک می شود ، اما به ازای ضابطه پایینی برابر 3 می شود ، پس چون خروجی y ها برابر نیست ، تابع نیست .
رسم نمودار تابع چند ضابطه ای
برای رسم نمودار این تابعها ،هر یک از تابعهای
[math] {f_{1,}}{f_2},{f_3},….{f_n}[/math]
را رسم کنیم.در واقع کافیست نمودار هر ضابطه از تابع را رسم کنیم و روی هر کدام از نمودارها ،قسمتهایی را که در دامنه آن ضابطه تعریف شده است،پر رنگ کرده و بقیه را پاک کنیم.
مثال تابع چند ضابطه ای زیر را رسم کنید .
[math]f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&{x < – 1}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1 \le x \le 1}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{ – {x^2} + 2}&{x > 1}\end{array}\end{array} \right\}\\[/math]
برای رسم این تابع تک تک ضابطه ها را در بازه های داده شده رسم می کنیم ، الیته ابتدا کل تابع را بدون در نظر گرفتن ضابطه رسم می کنیم سپس بازه ها را پاک می کنیم . ما اینجا در شکل زیر هر ضابطه را با رنگ متفاوت نشان داده ایم و در نهایت کل ضابطه تابع رسم شده است .