حد گیری از توابع جزء صحیح
حد گیری از توابع جزء صحیح
بخش اول : توابع دارای عبارت جزء صحیح
در توابع جزء صحیح ما برای محاسبه حد تابع در نقطه [math] x \to a[/math] نا گزیر به استفاده از حد چپ و راست هستیم ، به خاطر اینکه زمانی که بخواهیم در [math][x][/math] عددی را جایگزین کنیم ، باید محدوده ان عدد را بدانیم . مثلا برای محاسبه حد تابع در [math] x \to 2[/math] باید یکبار بجای [math]x[/math] مقادیر بزرگتر از 2 قرار دهیم یعنی حد راست آن را محاسبه کنیم به تعبیری دیگر باید بدانیم که x از مقادیر بزرگتر از 2 به آن نزدیک می شود حال اگر در ضابطه [math][x][/math] مقدار بزرگتر از 2 قرار دهیم مثل [math][2/001][/math] که [math][2/001]=2[/math] می شود .پس براحتی در ضابطه تابع می توانیم بجای جزء صحیح عدد 2 را قرار دهیم .
پس بطور کلی حد یک عبارت دارای جزء صحیح [math][x][/math] بصورت زیر است :
قانون شماره 1 حد راست
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} [x] = [{a^ + }] = a \\[/math]
قانون شماره 2 حد چپ
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} [x] = [{a^ – }] = a – 1 \\[/math]
نتیجه گیری : هر گاه بخواهیم حد تابعی را محاسبه کنیم که شامل جزء صحیح باشد ، ابتدا با محاسبه حد چپ و راست تابع ،مقدار عددی جزء صحیح را بدست آورده و سپس به ادامه محاسبه حد می پردازیم ،یعنی ابتدا جزء صحیح را از تابع خارج می کنیم .
مثال 1:حد تابع جزء صحیح روبرو را حل کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} [x] = ? \\[/math]
جواب:
ابتدا حد راست تابع را در نقطه مورد نظر بدست می اوریم که طبق قاعده ای که در بالا گفتیم(قانون شماره 1 حد راست)
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} [x] = [ – {3^ + }] = [ – 2/9999] = – 3 \\[/math]
و سپس حد چپ تابع را در نقطه مورد نظر بدست می اوریم که طبق قاعده ای که در بالا گفتیم(قانون شماره 2 حد چپ)
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} [x] = [ – {3^ – }] = [ – 3/001] = – 4 \\[/math]
مثال 2:حد تابع جزء صحیح روبرو را حل کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{[x] – x}}{{2 – x}} = ? \\[/math]
جواب:
حد چپ و راست را بصورت جداگانه محاسبه می کنیم.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{[x] – x}}{{2 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{[{2^ + }] – x}}{{2 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2 – x}}{{2 – x}} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{[x] – x}}{{2 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{[{2^ – }] – x}}{{2 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{1 – x}}{{2 – x}} = \frac{{1 – {2^ – }}}{{2 – {2^ – }}} = \frac{{ – 1}}{{{0^ + }}} = – \infty \\[/math]
همانطور که دیدید در محاسبه حد چپ مخرج ما صفر حدی می شود نه صفر مطلق ، لذا چون صورت ما عدد منفی یک هست و مخرج ما صفر حدی مثبت هست پس جواب نهایی حد چپ تابع برابر با منفی بی نهایت است .
بخش دوم : جزء صحیح توابع
در توابع به صورت [math]y=[f(x)][/math] اگر حد [math]f(x)[/math] در [math]x=a[/math] موجود باشد و عددی غیر صحیح باشد ، تابع در [math]a[/math] حد دارد و داریم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} [f(x)] = [\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)][/math]
مثال : حد تابع زیر را محاسبه کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} [x – \sqrt x ] = ? \\[/math]
حد تابع دورن جزء صحیح را محاسبه می کنیم
[math] \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} [x – \sqrt x ] = [2 – \sqrt 2 ] \\ \sqrt 2 \cong 1/4 \\ \end{array} \right\} \to [2 – 1/4] = [0/6] = 0 \\[/math]
نکته : به ازای هر عدد صحیح یا غیر صحیح مانند [math]a[/math] داریم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ([x] + [ – x]) = – 1[/math]
برای اثبات این حالت ما از خصوصیات تابع جزء صحیح می دانیم که :
[math]y = [x] + [ – x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {x \in z} \\ { – 1} & {x \notin z} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
یعنی اگر [math]x[/math] غیر صحیح باشد ، آنگاه تابع در همه نقاط برابر منفی یک است ، پس در همه نقاط دارای حد است و این حد برابر منفی یک است .
تمرينات بخش با پاسخ تشریحی
حدود زیر را محاسبه کنید .
[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{{3\pi }}{4}} [\sqrt 2 \cos x] = ? \\[/math]
[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [\frac{{\sin }}{x}][/math]
[math]\mathop {3)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{[x] + 3 + x}}{{[x + \frac{1}{2}] + [ – 2x] + 4 – x}} = ? \\[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{|x|}}{x}[x] = ? \\[/math]
5-در کدام نقطه به طول صحیح از تابع [math]f(x)=4[x]+3[-x][/math] حد چپ دو برابر حد راست تابع است ؟
6-به ازای کدام مجموعه مقادیر a حد راست تابع [math]f(x)=[x]-[ax][/math] در [math]x=1[/math] از حد چپ 2 واحد بیشتر است ؟
7-حد چپ تابع [math] f(x) = \frac{{x – |x|}}{{[x + 1] – x}}[/math] در نقطه صفر بدست آورید ؟
8-حد عبارت [math](1-x+[x]-[2x])[/math] وقتی [math] x \to {1^ – }[/math] بدست آورید.
9-حاصل حد[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x + 1)[\frac{1}{{x + 1}}][/math] را بدست آورید.
برای دیدن پاسخ تشریحی اینجا را کلیک کنید (مختص کاربران ویژه و عضو سایت)
تست های کنکور سراسری بخش حد گیری جزء صحیح
1-اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + ax + b)\left[ {\frac{1}{x}} \right] = 2[/math] آنگاه a+b کدام است ؟
1)1 2)2 3)-1 4)-2
2-حد راست کسر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {{x^2}} \right] – {x^2}}}{{x\tan x}} = ?[/math]
برابر است با :
1)-1 2)2 3)1 4)-2
(کنکور-آزاد –رشته ریاضی -67)
3-[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ x \right](\left[ x \right] – 1)[/math] کدام است ؟
1)-2 2)-1 3)صفر 4)1
(سراسری ریاضی 67)
4-در تابع [math] y = \left[ {3x} \right] + 2\left[ x \right] – \left[ {{x^2}} \right][/math] اگر
[math] x \to 2[/math] حد راست ازچپ چقدر بیشتر است ؟ (آزاد-ریاضی -80)
1)1 2)2 3)4 4)صفر
5-مجموع حد چپ و راست
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f(x) = ({x^2} + 1)\left[ {{x^2} – 2} \right][/math]
کدام است ؟ ( آزاد-تجربی-82)
6-هر گاه [math] f(x) = x – \left[ x \right] + \sin \frac{{\pi \left[ x \right]}}{2}[/math] اختلاف حد چپ و راست تابع در [math]x=4[/math] چیست ؟
7-به ازای چه مقادیری از [math]a[/math] تابع [math] f(x) = a\left[ x \right] + \left[ {x + 1} \right][/math] در نقطه [math]x=1[/math] حد دارد ؟
برای دیدن پاسخ تشریحی اینجا را کلیک کنید (مختص کاربران ویژه و عضو سایت)
سلام اگر حد تابع جز صحیح به بی نهایت میل کنه چطوری بدست باید بیاریم؟
آموزش در همین سایت هست
http://math2easy.com/%D8%AC%D8%B2%D9%88%D9%87-%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84-%D8%A2%D9%85%D9%88%D8%B2%D8%B4-%D8%AD%D8%AF-%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9/