رسم نمودار تابع قدر مطلق

رسم نمودار تابع قدر مطلق

1-روش کلی رسم : در این روش ابتدا عبارات داخل قدر مطلق را تعیین علامت می کنیم و سپس در فواصل بدست آمده تابع را رسم می کنیم . در واقع تابع را در بازه های مشخصی رسم می کنیم . برای فهم بهتر یک مثال را با هم مرور می کنیم.

مثال 1:نمودار تابع [math] y=x+|x|[/math] را رسم کنید .

جواب : همانطور که می دانیم ریشه عبارت [math]|x|[/math] برابر صفر می باشد . پس دو بازه را باید در نظر بگیریم .

ابتدا تابع را تعیین علامت می کنیم :

فاصله اول :

[math] x \le 0[/math]

[math] y = x + |x| \to x – x = 0[/math]

فاصله دوم :

[math]x > 0 \\ y = x + |x| \to x + x = 2x \\[/math]

با توجه به جدول تعیین علامت فوق و تابع ما دردوبازه مختلف دارای دو معادله شد که هر کدام از نقاطی می گذرد در واقع نمودار ما از دو نقطه کمکی زیر عبور می کند و بصورت شکل زیر است:

آنچه که گفتیم بصورت زیر خلاصه می شود

1-قدر مطلق را تعیین علامت کنید

2-در بازه های مختلف که تعیین علامت کردید معادلات مختلفی بدست می آید که نمودار هر کدام را رسم می کنیم.

 

2-رسم نمودار تابع [math]y=|f(x)|[/math]

برای رسم این نمودار ابتدا نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] را رسم می کنیم و سپس قسمتهایی از نمودار که در زیر محور x ها است را ،نسبت به محور x ها قرینه کرده و قسمت پایین محور x ها را حذف می کنیم.به این ترتیب نمودار [math]y=|f(x)|[/math]  بدست می آید.

مثال 2 :نمودار تابع [math] y = |{x^2} – 4|[/math] را رسم کنید .

ابتدا نمودار [math] y = {x^2} – 4 [/math] را رسم می کنیم و سپس نقاط منفی که زیر محور x  ها است را حذف می کنیم .و قرینه همین نقاط را نسبت به محور x  بدست می اوریم مطابق شکل زیر:

 

مثال 3:نمودار [math]y=|Sinx|[/math] را رسم کنید.

ابتدا نمودار تابع [math]y=Sinx[/math] را رسم می کنیم .

اکنون در فیلم زیر توضیح می دهیم که چگونه می توان نمودار [math]y=|Sinx|[/math] را رسم کنیم و فق آن با نمودار [math]y=Sinx [/math] چیست .

3-رسم نمودار تابع [math]y=f(|x|)[/math]

برای رسم این تابع ابتدا نمودار تابع [math]y=f(x)[/math]  را برای [math] x \ge 0[/math] (سمت راست محور y ها) رسم می کنیم. و سپس قرینه آن را نسبت به محور y  ها در طرف چپ محور y  ها رسم می کنیم.

مثال4 : نمودار [math]y=sin|x|[/math]  را بدست آورید .

جواب : ابتدا نمودار تابع سینوس را بدست می آوریم .

حالا ما فقط با قسمتی از نمودار سر و کار داریم که x  بزرگتر یا مساوی صفر باشد و سپس قرینه آن را نسبت به محور y  ها در طرف چپ محور y  ها رسم می کنیم.

نمودار فوق مطابق شکل بدست می آید .

در فیلم زیر بطور مرحله به مرحله نحوه نمودار را توضیح داده ام .

4-رسم نمودار توابع شامل قدر مطلق به کمک تابع [math]y=|x|[/math]  و به روش انتقال :

در این روش ابتدا نمودار [math]y=|x|[/math] را رسم می کنیم . و سپس با توجه به مقداری که به x  اضافه و یا از آن کم می شود نمودار را در راستای افقی یا عمودی انتقال می دهیم.

ابتدا می دانیم که نمودار [math]y=|x|[/math] بصورت زیر است ، پس داریم:

حالت1:تابع به فرم [math]y=|x+c|[/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت چپ برود.

در شکل زیر نمودار تابع [math]y=|x+3|[/math]  را به روش انتقال بدست می آوریم .برای اینکار نمودار [math]y=|x|[/math] را باید به اندازه 3 واحد به سمت چپ ببریم (نقطه منفی 3)

 

حالت2:تابع به فرم [math]y=|x-c|[/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت راست برود.

در شکل زیر نمودار تابع [math]y=|x-3|[/math]  را به روش انتقال بدست می آوریم .برای اینکار نمودار [math]y=|x|[/math] را باید به اندازه 3 واحد به سمت راست  ببریم (نقطه مثبت 3)

فیلم زیر این جابجایی ها را نشان می دهد

حالت3:تابع به فرم [math]y=|x|+c [/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت بالا برود.

در شکل زیر نمودار تابع [math]y=|x|+3 [/math]  را به روش انتقال بدست می آوریم .برای اینکار نمودار [math]y=|x|[/math] را باید به اندازه 3 واحد به سمت بالا  ببریم (نقطه مثبت 3)

حالت4:تابع به فرم [math]y=|x|-c [/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت پایین برود.

در شکل زیر نمودار تابع [math]y=|x|-3 [/math]  را به روش انتقال بدست می آوریم .برای اینکار نمودار [math]y=|x|[/math] را باید به اندازه 3 واحد به سمت  پایین  ببریم (نقطه منفی 3)

حالت5:تابع به فرم [math]y=|x+c|-b [/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت چپ بروید و در ادامه به اندازه عدد [math]b[/math] به سمت پایین بروید.

حالت6:تابع به فرم [math]y=|x-c|+b [/math]  باشد یعنی تابع شما باید به اندازه عدد [math]c[/math] به سمت راست بروید و در ادامه به اندازه عدد [math]b[/math] به سمت بالا بروید.

مثال :نمودار [math]y=|x+3|+4[/math]را رسم کنید

به اندازه سه واحد به سمت چپ و سپس به اندازه 4 واحد به سمت بالا حرکت می کنیم تا نمودار ما بدست آید.

حل معالات قدر مطلق با استفاده از رسم نمودار :

در بعضی موارد برای تعیین ریشه های معادله قدر مطلقی می توان از روش هندسی استفاده کرد.به این ترتیب که نقاط تقاطع دو منحنی را بدست می آوریم .در این حالت تابع قدر مطلق را در یک طرف معادله و بقیه را در طرف دیگر قرار می دهیم و توابع را از طریق دستگاه محورهای مختصات رسم می کنیم ، محل تلاقی دو نمودار ریشه های معادله هستند.

مثال : معادله [math]|x|=|x-2|+1[/math] را به روش هندسی و جبری حل کنید.

روش جبری :

[math]|x| – |x – 2| = 1 \to \left\{ \begin{array}{l} 1)x \le 0 \to  – x + (x – 2) = 1 \to  – 2 = 1 \\ 2)0 < x < 2 \to x + (x – 2) = 1 \to x = \frac{3}{2} \\ 3)x \ge 2 \to x – (x – 2) = 1 \to 2 = 1 \\ \end{array} \right\} \\[/math]

جواب در حال 1 و 3 غیر قابل قبول است پس فقط عدد سه دوم جواب ما هست .

 

تمرينات و نمونه سوال امتحاني بخش

1-معادله [math] x + \frac{x}{{|x|}} = 3[/math]  را به روش هندسی حل  کنید . (امتحان نهایی حسابان خرداد 93)

2-نامعادله [math] \sqrt {x – 1}  \le |x – 1|[/math] را با روش هندسی حل کنید . (امتحان نهایی حسابان خرداد 90)

3-ابتدا نمودار تابع [math]f(x)=|x-3|[/math] را در بازه [math][2,4][/math] رسم کنید و سپس به کمک آن ،نمودار تابع      [math]f(-x)[/math] را رسم کنید.

4-تابع [math]f(x)=3-|x+1|[/math] را بصورت یک تابع چند ضابطه ای بنویسید  نمودار آن را رسم کنید.

5-منحنی نمایش معکوس تابع [math]f(x)=2x+|2x|[/math]  را بدست آورید ؟

 

برای دیدن پاسخ سوالات به لینک زیر که مخصوص اعضای وِیژه است بروید

لینک پاسخ سوالات