پیوستگی در بازه
پیوستگی در بازه
1-پیوستگی تابع f روی بازه [math](a,b)[/math]
تابع f در بازه [math](a,b)[/math] پیوسته است هر گاه فقط در تمام نقاط دورن این بازه پیوسته باشد.
2-پیوستگی تابع f روی بازه [math][a,b][/math]
تابع f در بازه [math][a,b][/math] پیوسته است هر گاه سه شرط زیر برقرار باشد.
الف) تابع f در هر نقطه بازه [math](a,b)[/math] پیوسته باشد.
ب)تابع در x=a پیوستگی راست داشته باشد .یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a) [/math]
پ) تابع در x=b پیوستگی چپ داشته باشد.یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b) [/math]
3-پیوستگی تابع f روی بازه [math][a,b)[/math]
تابع f در بازه [math][a,b)[/math] پیوسته است هر گاه دو شرط زیر برقرار باشد.
الف) تابع f در هر نقطه بازه [math](a,b)[/math] پیوسته باشد.
ب) تابع در x=a پیوستگی راست داشته باشد .یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a) [/math]
4-پیوستگی تابع f روی بازه [math](a,b][/math]
تابع f در بازه [math](a,b][/math] پیوسته است هر گاه دو شرط زیر برقرار باشد.
الف) تابع f در هر نقطه بازه [math](a,b)[/math] پیوسته باشد.
ب) تابع در x=b پیوستگی چپ داشته باشد.یعنی [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b) [/math]
مثال1:پیوستگی تابع [math] f(x) = x[x] [/math] را در بازه [math][1,2)[/math] بررسی کنید.
شرط اول باید پیوستگی تابع را در بازه [math](1,2)[/math] بررسی کنیم.تابع در بازه [math](1,2)[/math] چون در این بازه عدد صحیحی وجود ندارد تا [math][x][/math] را ناپیوسته کند.
اکنون شرط دوم را بررسی می کنیم یعنی باید در x=1 پیوستگی راست داشته باشد .
[math]\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 1\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1)[/math]
تابع در x=1 پیوستگی راست دارد پس هر دو شرط برقرار است و تابع در [math][1,2)[/math] پیوسته است.
مثال 2:پیوستگی تابع [math] f(x) = \frac{{\sqrt {1 – {x^2}} }}{x} [/math] را در بازه [math][-1,1][/math] بررسی کنید.
می دانیم که دامنه این تابع [math][-1,1]-{0}[/math] است یعنی تابع در نقطه درونی این بازه x=0تعریف نشده است پس در این نقطه پیوسته نیست در نتیجه در این بازه داده شده نیز نمی تواند پیوسته باشد .
مثال 3:نمودار شکل زیر را از نظر پیوستگی بررسی کنید.
الف)تابع در بازه [math][1,2][/math] پیوسته است . چون همانطور که در شکل می بینید
شرط اول :نمودار تابع در بازه [math](1,2)[/math] پیوسته است .
شرط دوم پیوستگی راست در x=1
[math] f(1) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 2 [/math]
شرط سوم :پیوستگی چپ در x=2
[math] f(2) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 1 [/math]
نکته مهم در این تمرین این است که تابع در بازه [math][1,2][/math]پیوسته است اما نمی توانیم بگوییم تابع در هر نقطه [math][1,2][/math] پیوسته است چون همانطور که دیدیم در نقطه x=1 فقط پیوستگی راست داریم و در نقطه x=2 فقط پیوستگی چپ دارم .
پس بین این دو عبارت را با دقت مطالعه کنید :
عبارت اول تابع f بر بازه [math][1,2][/math] پیوسته است اما
عبارت دوم تابع f در هر نقطه [math][1,2][/math]پیوسته نیست .
مثال 4: پیوستگی تابع زیر را بر بازه [math][-2,0)[/math] بررسی کنید.
شرط اول : طبق نمودار داده شده تابع در بازه [math](-2,0)[/math] پیوسته است.
اکنون باید شرط دوم یعنی پیوستگی راست تابع در نقطه x=-2 را بررسی کنیم.
[math]f(-2)=-1[/math] تعریف نشده است اما
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f(x) = – 2 [/math]
در این نقطه پیوستگی راست ندارد پس در این بازه پیوستگی ندارد.