حدهای نامتناهی
حدهای نامتناهی
در مقطع های قبلی (پایه یازدهم) حد توابع را در نقطه توضیح دادیم .در واقع در مورد حد توابعی صحبت کردیم که وقتی x به سمت عددی مانند a میل می کرد حد تابع برابر مقداری مانند L می شد :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L [/math]
L یک مقدار عددی بود که با نزدیک شدن x به عدد a ، مقدار تابع [math]f(x)[/math] به سمت L نزدیک می شد.
همچنین مفهوم بی نهایت و صفر حدی و مفهوم تعریف نشده را در لینک زیر مفصل توضیح دادیم توصیه می کنم حتما مطالعه کنید .
مفهوم بی نهایت -صفرحدی و تعریف نشده ها
اکنون می خواهیم در مورد حدهایی صحبت کنیم که وقتی x به سمت عددی مانند a میل می کند . حد تابع ما به سمت بی نهایت میل می کند مانند حالتی شبیه زیر:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \infty [/math]
به این حدها می گوییم .حدهای نامتناهی.
با یک مثال بحث را ادامه می دهیم .فرض کنید [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] باشد.می خواهیم رفتار این تابع را در همسایگی نقطه x=0 را بررسی کنیم.ابتدا با استفاده از جدول مقادیر مختلف تابع را بررسی می کنیم :
مقادیری که اینجا در نظر می گیریم از سمت راست یعنی مثبت به سمت صفر نزدیک می شویم .
صفر | [math]\to[/math] | [math]0.0001[/math] | [math]0.001[/math] | [math]0.01[/math] | [math]0.1[/math] | [math]x[/math] |
تعریف نشده | [math]\to[/math] | [math]10000[/math] | [math]1000[/math] | [math]100[/math] | [math]10[/math] | [math]f(x)[/math] |
در انتها وقتی x برابر صفر مطلق بشه چون صفر مطلق در مخرج کسر هست پس حاصل کسر ما تعریف نشده خواهد بود .
همانطور که در جدول بالا می بینید هر چقدر که ما مقدار x را به عدد صفر از سمت راست نزدیک کنیم تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] بزرگ و بزرگتر می شود یعنی در واقع :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty [/math]
در واقع وقتی x با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک می شود تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود بلکه کسر ما به عدد خیلی خیلی بزرگ نزدیک می شود یا اصطلاحا بی کران افزایش می یابد .
پس اگر می گوییم حد برابر مثبت بی نهایت است.چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و مثبت بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش می دهد مقدار تابع از هر عددی بزرگتر است.
حالت دوم بررسی تابع مقادیری که از سمت چپ یعنی منفی به سمت صفر نزدیک می شویم .
صفر | [math]\to[/math] | [math]-0.0001[/math] | [math]-0.001[/math] | [math]-0.2[/math] | [math] – \frac{1}{2} [/math] | [math]x[/math] |
تعریف نشده | [math]\to[/math] | [math]-10000[/math] | [math]-1000[/math] | [math]-5[/math] | [math]-2[/math] | [math]f(x)[/math] |
همانطور که در جدول بالا می بینید هر چقدر که ما مقدار x را به عدد صفر از سمت چپ نزدیک کنیم تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] کوچک و کوچکتر می شود یعنی در واقع :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = – \infty [/math]
در واقع وقتی x با مقادیر کوچکتر از صفر به صفر نزدیک می شود تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود بلکه کسر ما به عدد خیلی خیلی کوچک نزدیک می شود یا اصطلاحا بی کران کاهش می یابد .
پس اگر می گوییم حد برابر منفی بی نهایت است.چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و منفی بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش می دهد مقدار تابع از هر عددی کوچکتر است.
اکنون اگر نمودار تابع را رسم کنیم . می بینیم کخ نمودار این تابع هیچ وقت خط x=0 را قطع نمی کند ولی تا بی نهایت به آن نزدیک می شود.
تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی
فرض کنید تابع f در یک همسایگی راست نقطه ای مانند a تعریف شده باشد در این صورت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty [/math] بدین معنی است که می توانیم [math]f(x)[/math] را به دلخواه هر قدر بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از سمت راست به اندازه کافی به a نزدیک کرده باشیم.
همچنین فرض کنید تابع f در یک همسایگی چپ نقطه ای مانند a تعریف شده باشد در این صورت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = + \infty [/math] بدین معنی است که می توانیم [math]f(x)[/math] را به دلخواه هر قدر بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از سمت چپ به اندازه کافی به a نزدیک کرده باشیم.
تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = – \infty [/math]
نیز مشابه تعاریف فوق است.توصیف حالتهای مختلف حدهای یک طرفه نامتناهی در شکلهای زیر آمده است.
مثال 2 :نمودار تابع [math] f(x) = \frac{1}{{|x|}} [/math] را در همسایگی محذوف x=0 بررسی کنید.
ابتدا نمودار تابع را ببینید.
اکنون جدول مقادیر برای ان تابع مشابه جدول زیر می نویسیم :
همانطور که می بینید با نزدیک شدن x به عدد صفر مقدار [math]f(x)[/math] بزرگ و بزرگتر می شود چون اینجا قدر مطلق داریم پس خروجی تابع ما همواره مثبت است .اما مقدار حد تابع مقدار مشخصی ندارد و نامتناهی است . پس طبق جدول فوق و همچنین طبق نمودار تابع ، وقتی x به سمت صفر می رود مقدار تابع به سمت مثبت بی نهایت می رود .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{|x|}} = + \infty [/math]
یعنی در واقع حد بالا به صورت زیر است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{|x|}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{1}{{|x|}} = + \infty [/math]
مثال 3:حدود توابع زیر را در صورت وجود بدست آورید .
[math] a)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x – 2}} [/math]
حد این تابع در نقطه 2 موجود نیست چون مخرج برابر صفر می شود و تعریف نشده است .قبل از بررسی حد چپ و راست در این نقطه من دو حالت زیر را بررسی می کنم
الف) [math]x>2[/math]
در این حالت ما می دانیم که صورت کسر ما عددی مثبت است پس باید ببینیم مخرج ما چه خواهد بود :
[math] x > 2 \Rightarrow x – 2 > 0 [/math]
یعنی مخرج به ازای x های بزرگتر از 2 همواره مثبت است پس در این حالت حاصل کسر ما همیشه مثبت است پس حد راست که در واقع از x های بزرگتر از 2 خواهد بود مخرج را مثبت خواهد کرد پس :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x – 2}}\\x > 2 \Rightarrow x – 2 > 0\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x – 2}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty [/math]
الف) [math]x<2[/math]
در این حالت ما می دانیم که صورت کسر ما عددی مثبت است پس باید ببینیم مخرج ما چه خواهد بود :
[math] x < 2 \Rightarrow x – 2 < 0 [/math]
یعنی مخرج به ازای x های کوچکتر از 2 همواره منفی است پس در این حالت حاصل کسر ما همیشه منفی است پس حد چپ که در واقع از x های کوچکتر از 2 خواهد بود مخرج را منفی خواهد کرد پس :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{1}{{x – 2}}\\x < 2 \Rightarrow x – 2 < 0\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{1}{{x – 2}} = \frac{1}{{{0^ – }}} = – \infty [/math]
اکنون اگر نمودار را رسم کنیم می بینم که وقتی x از سمت راست به عدد 2 نزدیک می شود حد تابع به سمت مثبت بی نهایت و وقتی x از سمت چپ به 2 نزدیک می شود حد تابع به سمت منفی بی نهایت می رود.
[math] b)\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \log _3^x [/math]
نمودار تابع لگاریتم از نموداری شناخته شده در ریاضی است که به صورت زیر است :
اگر به نمودار دقت کنید می بینید که وقتی x از مقادیر بزرگتر از صفر به عدد صفر نزدیک می شود تابع در جهت منفی بی نهایت و به سمت منفیها حرکت می کند پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \log _3^x = – \infty [/math]
[math]c)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \tan x[/math]
می دانیم که تابع تانژانت در تمام نقاط به جز [math] k\pi + \frac{\pi }{2} [/math] دارای حد است .مقدار حد ان هم برابر با مقدار تابع در آن نقطه است اکنون با این پیش فرض می خواهیم حد داده شده را حساب کنیم .ابتدا نگاهی بندازیم به نمودار تابع تانژانت :
با توجه به نمودار فوق داریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \tan x = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ – }} \tan x = + \infty [/math]