تمرينات حل شده انتگرال
ارتباط انتگرال و مشتق
1-در تمرین زیر انتگرال تابع حساب شده است بررسی کنید که آیا جواب درست است ؟
[math] \int {(8{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}})dx = 2{x^4} – \frac{1}{{2x}} + c} [/math]
ما در درس قبلی یادگرفتیم که مشتق و انتگرال معکوس هم هستند .در اینجا انتگرال ما حساب شده است اما نمی دانیم جواب بدست آمده درست است یا نه پس برای بررسی صحت جواب باید از جواب بدست آمده مشتق بگیریم .
[math] \frac{d}{{dx}}(2{x^4} – \frac{1}{{2x}} + c) = \frac{d}{{dx}}(2{x^4} – \frac{1}{2}{x^{ – 1}} + c)\\= 8{x^3} + \frac{1}{2}{x^{ – 2}} = 8{x^3} + \frac{1}{{2{x^2}}} [/math]
جواب مشتق را حساب کردیم و می بینیم که جواب مشتق برابر عبارت انتگرال است پس جواب حساب شده انتگرال صحیح است.
2-انتگرال های زیر را حساب کنید .
[math] a)\int {(\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }})dx} [/math]
ابتدا باید عبارت را بازنویسی و ساده تر کنیم :
[math] \int {({x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}{x^{ – \frac{1}{2}}})dx} = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2}(\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}) + c\\= \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}} + c [/math]
[math] b)\int {\frac{{{x^4} – 3{x^2} + 5}}{{{x^4}}}dx} \\ = \int {(\frac{{{x^4}}}{{{x^4}}}} – 3\frac{{{x^2}}}{{{x^4}}} + \frac{5}{{{x^4}}})dx = \int {(1 – 3{x^{ – 2}} + 5{x^{ -4}})dx} \\ = x – \frac{{3{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} + \frac{{5{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + c = x + \frac{3}{x} – \frac{5}{{3{x^3}}} + c [/math]
[math] c)\int {(x + 1)(3x – 2)dx} [/math]
اينجا در مرحله بازنویسی بهتره که دو جمله ایها را در هم ضرب کنیم تا تبدیل شود به چند جمله ای ساده و بعد از تک تک جملات به سادگی می توانیم انتگرال بگیریم .
[math] \int {(3{x^2} + x – 2)dx} \\= {x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + c [/math]
[math] d)\int {(2\sin x – 5{e^x})dx} \\= \int {2\sin xdx – \int {5{e^x}dx} } = 2\int {\sin xdx – 5\int {{e^x}dx} } \\ = – 2\cos x – 5{e^x} + c [/math]
حالا من اينجا برای اطمینان می خواهم ببینم این جوابی که بدست آورده ام درسته یا نه ؟ پس باید از جواب مشتق بگیریم تا ببینم به عبارت زیر انتگرال می رسیم :
[math] \frac{d}{{dx}}( – 2\cos x – 5{e^x} + c) = \\\frac{d}{{dx}}( – 2\cos ) – 5\frac{d}{{dx}}{e^x} + \frac{d}{{dx}}c = 2\sin x – 5{e^x} [/math]
پس با توجه به مشتق که حساب کردیم عبارت زیر انتگرال به دست آمد پس نتیجه می گیریم محاسبه انتگرال ما صحیح بوده است.
[math] e)\int {(\frac{4}{x}} + {\sec ^2}x)dx\\= 4\int {\frac{1}{x}} dx + \int {{{\sec }^2}xdx = 4\ln |x| + \tan x + c} [/math]
3-ىر تمرین زیر ما نمودار مشتق توابع را داریم و اکنون می خواهیم نمودار تابع اصلی را پیدا کنیم . در واقع ما به کمک انتگرال می خواهیم به معادله تابع اصلی برسیم .
در تابع روبرو مشتق ما یک خط راست مستقیم است در واقع شیب خط که نشان دهنده مشتق است برابر یک عدد ثابت است . طبق شکل [math]f'(x) = 4[/math] اکنون که معادله مشتق برای ما مشخص شد برای رسیدن به تابع اصلی باید از مشتق داده شده انتگرال بگیریم : [math]\int {f'(x)dx} = \int 4 dx = 4x + c[/math] حاصل انتگرال فوق نشان دهنده معادله تایع اصلی است. که بر حسب مقدار c می تواند چندین مقدار متفاو بگیرید اما اصل معادله همان جواب انتگرال است. |
|
معادله خط مشتق را بدست می آوریم این خط ساده است که در واقع معادل خط [math]y=x[/math] است [math]f'(x) = x[/math] حالا از عبارت فوق انتگرال می گیریم : [math]\int {f'(x)dx} = \int x dx = \frac{{{x^2}}}{2} + c[/math] حاصل انتگرال فوق نشان دهنده معادله تایع اصلی است. بر حسب مقدار c هرنمودارهای متعددی می توانیم داشته باشیم مثلا در شکل زیر بر حسب c=0 یا c=2 دوتا از نمودارها را مشاهده می کنید. |
خوب تا اینجا کم کم داریم پیشرف می کنیم حالا یه کمی قضیه رو جالبتر می کنیم مثال زیر را ببینید .
4- اگر مقادیر [math] f”(x) = {x^2},f'(0) = 8,f(0) = 4 [/math] داده شده باشند .تابع اصلی را بدست آورید .
ابتدا به مشتق دوم تابع نگاه می کنیم چون اینجا یه معادله داره و از رابطه انتگرال و مشتق می دانیم که :
[math] f'(x) = \int {f”(x)} dx [/math]
خوب حالا مقادیر داده شده مساله را در عبارت بالا جایگزاری می کنیم :
[math] f'(x) = \int {{x^2}} dx = \frac{1}{3}{x^3} + {c_1} [/math]
طبق مساله گفته شده که مشتق در نقطه صفر برابر 8 است پس در عبارت بدست امده بالا می توانیم جایگزاری کنیم :
[math] f'(x) = \frac{1}{3}{x^3} + {c_1}\\f'(0) = \frac{1}{3}(0) + {c_1} = 8 \Rightarrow {c_1} = 8\\f'(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 8 [/math]
اکنون معادله مشتق به طور کامل بدست اوردیم .حالا باید معادله اصلی تابع را حساب کنیم باز به کمک انتگرال گیری از مشتق می توانیم معادله اصلی تابع را حساب کنیم :
[math] f(x) = \int {f'(x)dx = \int {(\frac{1}{3}{x^3} + 8)} } = \frac{1}{{12}}{x^4} + 8x + {c_2} [/math]
مجددا طبق مساله [math]f(0)=4[/math] با جایگزاری در عبارت بالا می توانیم مقدار [math] {c_2} [/math] را حساب کنیم و فرم تابع اصلی را بدست اوریم :
[math] f(x) = \frac{1}{{12}}{x^4} + 8x + {c_2}\\f(0) = 4 \Rightarrow \frac{1}{{12}}{(0)^4} + 8(0) + {c_2} = 4 \Rightarrow {c_2} = 4\\f(x) = \frac{1}{{12}}{x^4} + 8x + 4 [/math]
5-تابع اصلی f را پیدا کنید هر گاه که [math]f'(x) = 2x + 3,f(1) = – 2[/math] باشد.
خوب اینجا معادله مشتق تابع داده شده پس به راحتی می توان با انتگرال گیری از معادله مشتق به معادله اصلی تابع برسیم :
[math] f(x) = \int {f'(x)} dx = \int {2x + 3dx} = {x^2} + 3x + c [/math]
حالا برای بدست آوردن مقدار ثابت c با توجه به داده های مساله که [math]f(1)=-2[/math] را جایگزاری می کنیم :
[math] f(x) = {x^2} + 3x + c\\f(1) = – 2 \Rightarrow – 2 = {(1)^2} + 3(1) + c \to c = – 6 [/math]
پس معادله تابع اصلی ما به صورت زیر خواهد بود :
[math] f(x) = {x^2} + 3x – 6 [/math]
در شکل زیر نمودار تابع f را به ازای مقادیر مختلف ثابت c نشان داده است فقط نمودار قرمز رنگ جواب اصلی مساله می باشد.