پیوستگی راست و پیوستگی چپ
پیوستگی راست و پیوستگی چپ
ما در بخش قبلی در مورد پیوستگی به صورت عام صحبت کردیم اکنون می خواهیم در مورد پیوستگی از راست و پیوستگی از چپ صحبت کنیم .هر گاه حد چپ و راست تابعی مانند [math]f(x)[/math] در نقطه ای مانند x=a برابر نباشند یعنی
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) [/math]
آنگاه باید پیوستگی راست یا چپ تابع را بررسی کرد.
پیوستگی راست :
می گوییم تابع [math]f(x)[/math] در نقطه x=a پیوستگی راست دارد هر گاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a) [/math]
پیوستگی چپ :
می گوییم تابع [math]f(x)[/math] در نقطه x=a پیوستگی چپ دارد هر گاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = f(a) [/math]
با این تعاریف می توانیم پیوستگی را بطور عمومی به صورت زیر تعریف کنیم
پیوستگی تابع:
تابع f در x=a پیوسته است اگر و تنها اگر f در a هم از راست و هم از چپ پیوسته باشد.
حالتهای زیر را ببینید :
مثال 1:نمودار تابعی در زیر داده شده است پیوستگی این تابع را در نقاط 2و3 بررسی کنید.
بررسی پیوستگی در نقطه x=2
ابتدا باید مقدار [math]f(2)[/math] را حساب کنیم طبق نمودار [math]f(2)[/math] تعریف شده است و به صورت تقریبی به صورت [math] f(2) = 2.5[/math] است اکنون باید حد چپ و راست را حساب کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 3 [/math]
همانطور که دیدیم حد چپ و راست نه تنها با هم برابر نیستند بلکه با مقدار تابع در نقطه 2 نیز برابر نیستند پس این تابع در نقطه 2 هیچ گونه پیوستگی ندارد.
بررسی پیوستگی در نقطه x=3
ابتدا باید مقدار [math]f(3)[/math] را حساب کنیم طبق نمودار [math]f(3)[/math] تعریف شده است و به صورت تقریبی به صورت [math] f(3) = 3.5[/math] است اکنون باید حد چپ و راست را حساب کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f(x) = 2 \ne f(3)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = 3.5 = f(3) [/math]
پس تابع در نقطه 3 دارای پیوستگی راست است. اما پیوستگی چپ ندارد.
مثال 2:پیوستگی تابع زیر را در نقطه صفر بررسی کنید.
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + x}&{}&{x < 0}\\2&{}&{x = 0}\\{2\cos x – \sin x}&{}&{x > 0}\end{array}} \right\}\\ [/math]
ابتدا مقدار تابع را در نقطه صفر حساب می کنیم طبق ضابطه تابع [math]f(0)=2[/math]
اکنون جد چپ و راست تابع را در نقطه صفر حساب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} (3{x^2} + x) = 0 \ne f(0)\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2\cos x – \sin x) = 2\cos (0) – \sin (0) = 2 = f(0) [/math]
با توجه به اینکه حد راست برابر با مقدار تابع در نقطه صفر شد پس تابع ما در نقطه صفر پیوستگی راست دارد.
مثال 3: پیوستگی تابع با ضابطه زیر را در نقطه x=1 را بررسی کنید.
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{(x + 2)\sqrt {{x^2} – 2x + 1} }}{{x – 1}}}&{x \ne 1}\\3&{x = 1}\end{array}} \right\} [/math]
با توجه به ضابطه تابع [math]f(1)=3[/math] اکنون حد چپ و راست را حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x + 2)\sqrt {{x^2} – 2x + 1} }}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x + 2)\sqrt {{{(x – 1)}^2}} }}{{x – 1}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x + 2)|x – 1|}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x + 2)(x – 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x + 2 = 3\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(x + 2)\sqrt {{x^2} – 2x + 1} }}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(x + 2)\sqrt {{{(x -1)}^2}} }}{{x – 1}} = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(x + 2)|x – 1|}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{ – (x + 2)(x – 1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} – (x + 2) = – 3\\ [/math]
با توجه به اینکه حد راست با مقدار تابع در نقطه x=3 برابر است پس تابع پیوستگی راست دارد.
مثال 4: در تابع زیر a,b را چنان تعیین کنید که تابع زیر در x=2 پیوستگی چپ داشته باشد و مقدار حد راست آن برابر منفی 2 باشد.
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|x – 2| + ax}&{x \ne 2}\\{[x] – b}&{x = 2}\end{array}} \right\} [/math]
مقدار تابع در نقطه 2 برابر است با
[math]f(2)=2-b[/math]
اکنون حد چپ و راست تابع را بررسی می کنیم طبق مساله گفته حد راست برابر منفی 2 است پس:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = – 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} |x – 2| + ax = – 2 \Rightarrow 2a = – 2 \Rightarrow a = – 1 [/math]
تا اینجا مقدار a محاسبه شد . طبق صورت مساله تابع در x=2 پیوستگی چپ دارد یعنی حد چپ تابع با مقدار تابع در نقطه x=2 باید برابر باشد پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = f(2) \to \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} |x – 2| + ax\\a = – 1\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} [ – (x – 2) – x] = – (2 – 2) – 2 = – 2 [/math]
اکنون داریم:
[math] f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) \to 2 – b = – 2 \to b = 4\\ [/math]