مجموعه مرجع و مجموعه متمم
مجموعه مرجع
اینجا سعی می کنم این مفهوم را با مثال بررسی کنیم .می دانیم که [math]N[/math] مجموعه اعداد طبیعی است ، خوب می دانیم که در این مجموعه ، مجموعه های دیگری وجود دارد ، مانند
مجموعه عددهای طبیعی فرد
مجموعه عددهای طبیعی زوج
یا مجموعه اعداد طبیعی که بر 3 بخش پذیر باشند و ده ها نمونه دیگر از مجموعه ها وجود دارند که در واقع همه آنها زیر مجموعه اعداد طبیعی هستند .در این حال واضح است که مجموعه اعداد طبیعی در این حالت ،یک مجموعه مرجع برای تمام مجموعه ها بالا می باشد .
با همین روش ، مجموعه دانش آموزان ایران را در نظر بگیرید، این مجموعه یک مجموعه مرجع برای تمام مجموعه های ذکر شده زیر است :
1-مجموعه دانش آموزان دوره ابتدایی ایران
2-مجموعه دانش اموزان دوره متوسطه اول ایران
3- مجموعه دانش اموزان دوره متوسطه دوم ایران
4-مجموعه دانش آموزان رشته ریاضی ایران
و غیره ، خوب تمام مجموعه های بالا ، زیر مجموعه ، مجموعه دانش آموزان ایران هستند ، لذا مجموعه دانش آموزان ایران در واقع یک مجموعه مرجع برای این دسته می باشد .
با این مقدمه میرسیم به اصل تعریف و اینکه یک مجموعه مرجع یعنی :
در هر مبحث ، مجموعه ای که همه مجموعه های مورد بحث ،زیر مجموعه آن باشند را مجموعه مرجع می نامیم و آن را با حرف
[math]U[/math] نشان می دهیم .
در شکل زیر می بینیم که مجموعه اعداد حقیقی یک مجموعه مرجع برای مجموعه اعداد طبیعی ،حسابی ،صحیح،گویا و گنگ است .
متمم یک مجموعه :
آگر [math]U[/math] یک مجموعه مرجع باشد و مجموعه [math]A[/math] یکی از مجموعه های آن باشد ،آنگاه مجموعه ای که شامل همه عضوهای [math]U[/math] غیر از عضوهای مجموعه [math]A[/math] باشد ، در واقع حاصل تفاضل بصورت [math]U-A[/math] باشد را متمم مجموعه [math]A[/math] می نامیم و با نماد [math]A’[/math] نمایش می دهیم .
شکل بالا به سادگی متمم یک مجموعه را نشان می دهد .
مثال 1: مجموعه زیر را در نظر بگیرید و اعضای هریک را روی محور نشان دهید .
[math] A = \{ x \in Z| – 3 < x \le 2\} [/math]
من ابتدا سعی می کنم ان را بصورت بازه نمایش بدم ، که بصورت زیر خواهد بود :
[math] A = ( – 3,2][/math]
حالا روی محور هم نمایش می دهیم :
اکنون اعضای مجموعه [math]A[/math] را نمایش می دهیم :
[math]{\rm{A}} = \left\{ { – {\rm{2}}.{\rm{999999}}, – {\rm{2}}.{\rm{8}}, \ldots . – {\rm{2}}, – {\rm{1}}, \ldots ..0,{\rm{1}}.{\rm{5}},{\rm{1}}.{\rm{7}} \ldots \ldots \ldots {\rm{2}}} \right\} \\[/math]
در بالا ما فرض کردیم که [math]A[/math] مجموعه ای از اعداد حقیقی است ، حالا اگر مجموعه مرجع را اعداد صحیح [math]Z[/math] در نظر بگیریم آنگاه مجموعه [math]A,A’[/math] بصورت زیر خواهند بود .
[math] {\rm{A}} = \left\{ { – {\rm{2}}, – {\rm{1}},0,{\rm{1}},{\rm{2}}} \right\} [/math]
[math]{\rm{A’}} = \left\{ { \ldots .., – {\rm{1}}000, \ldots .. – {\rm{1}}00, – {\rm{99}}, \ldots \ldots – {\rm{5}}, – {\rm{4}}, – {\rm{3}},{\rm{3}},{\rm{4}},{\rm{5}},{\rm{6}}, \ldots \ldots \ldots ..} \right\} \\ [/math]
دقت کنید در مجموعه متمم بالا تمام اعداد صحیح هستند اما اعضای مجموعه [math]A[/math] حذف شدند .
مثال 2:اگر [math]U[/math] مجموعه مرجع مجموعه تمام اتومبیلهای پلاک گذاری کشور باشد و [math]B[/math] مجموعه اتومبیل های با پلاک فرد باشد . در این صورت [math]B’[/math] چه مجموعه ای خواهد بود ؟
مشخص است که هر پلاک اتومبیلی یا زوج هست یا فرد و در واقع مجموعه مرجع ما اینجا ، مجموعه کل پلاک های فرد و زوج است ، حالا اگر مجموعه [math]B[/math] اتومبیل های فرد باشد . پس متمم آن اتومبیل هایی است که پلاک آن فرد نیست یعنی پلاک آنها زوج خواهد بود .
اعمال در مجموعه ها
فرض کنید{ U={1,2,3,4,5 مجموعه مرجع باشد و {A={1,2,3 و {B={2,4باشد . اکنون با توجه به این مثال اعمال در مجموعه ها را توضیح می دهیم .
با توجه به مجموعه مرجع متمم دو مجموعه [math]A,B[/math] را بصورت زیر بدست می آوریم :
[math]A’ = \{ 4,5\} \\B’ = \{ 1,3,5\} \\[/math]
1-اجتماع دو مجموعه [math]A,B[/math]:
اجتماع دو مجموعه را بصورت [math] A \cup B[/math] ، نمایش می دهیم و مجموعه عضوهایی است که یا در [math]A[/math] و یا در [math]B[/math] و یا در هر دو هستند .
[math] A \cup B = \{ 1,2,3\} \cup \{ 2,4\} = \{ 1,2,3,4\} \\ [/math]
2-اشتراک دو مجموعه [math]A,B[/math]:
اجتماع دو مجموعه را بصورت [math] A \cap B[/math] ، نمایش می دهیم و مجموعه عضوهایی است که هم در [math]A[/math] و هم در [math]B[/math] هستند.
[math] A \cap B = \{ 1,2,3\} \cap \{ 2,4\} = \{ 2\} [/math]
3-تفاضل دو مجموعه [math]A,B[/math]:
[math]A-B[/math] مجموعه عضوهایی است که در [math]A[/math]هستند اما در [math]B[/math] نیستند .
می توان آن را بصورت [math] A \cap B'[/math]
[math]A – B = \{ 1,2,3\} – \{ 2,4\} = \{ 1,3\} \\A \cap B’ = \{ 1,2,3\} \cap \{ 1,3,5\} = \{ 1,3\} \\[/math]
[math]B-A[/math] مجموعه عضوهایی است که در [math]B[/math]هستند اما در [math]A[/math] نیستند .
می توان آن را بصورت [math] B \cap A'[/math]
[math]B – A = \{ 2,4\} – \{ 1,2,3\} = \{ 4\} \\B \cap A’ = \{ 2,4\} \cap \{ 4,5\} = \{ 4\} \\[/math]
پس نتیجه می گیریم که تساوی زیر همیشه برقرار است :
[math]B – A = B \cap A’ \\A – B = A \cap B’ \\[/math]
4-متمم اجتماع دو مجموعه برابر است با اشتراک متممهای آن دو مجموعه است .
[math] (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \\ [/math]
می دانیم که اجتماع دو مجموعه [math]A,B[/math] برابر است با :
[math] (A \cup B) = \{ 1,2,3\} \cup \{ 2,4\} = \{ 1,2,3,4\} [/math]
حالا متممم مجموعه بالا با توجه به مجموعه مرجع برابر است با :
[math] (A \cup B)’ = \{ 5\} [/math]
اکنون اشتراک متممها را حساب می کنیم:
[math] A’ \cap B’ = \{ 4,5\} \cap \{ 1,3,5\} = \{ 5\} [/math]
با توجه به نتیجه بالا تساوی برقرار شد.
5-متمم اشتراک دو مجموعه برابر است با اجتماع متممهای آن دو مجموعه است .
[math] (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \\ [/math]
می دانیم که اشتراک دو مجموعه [math]A,B[/math] برابر است با :
[math] (A \cap B) = \{ 1,2,3\} \cap \{ 2,4\} = \{ 2\} [/math]
حالا متممم مجموعه بالا با توجه به مجموعه مرجع برابر است با :
[math] (A \cap B)’ = \{ 1,3,4,5\} [/math]
اکنون اجتماع متممها را حساب می کنیم:
[math] A’ \cup B’ = \{ 4,5\} \cup \{ 1,3,5\} = \{ 1,3,4,5\} \\ [/math]
با توجه به نتیجه بالا تساوی برقرار شد.
6-متمم متمم هر مجموعه برابر خود آن مجموعه است :
[math](A’)’ = A \\A’ = \{ 4,5\} \Rightarrow (A’)’ = (\{ 4,5\} )’ = \{ 1,2,3\} = A \\[/math]
7-دو مجموعه جدا از هم :
هر گاه اشتراک دو مجموعه برابر تهی باشد ، انگاه به این دو مجموعه ، دو مجموعه جدا از هم می گوییم .
[math] A \cap B = \phi [/math]
تهی از هر مجموعه ای جدا است ، یعنی اشتراک تهی با مجموعه ای مثل A برابر است با :
[math] A \cap \phi = \phi [/math]
دو مجموعه تهی جدا از هم هستند
[math] \phi \cap \phi = \phi [/math]
تهی از تمام مجموعه ها جدا است و همین طور از خودش.
8-متمم مجموعه مرجع برابر مجموعه تهی است .
[math] U’ = \phi \\ [/math]
9-متمم مجموعه تهی برابر مجموعه مرجع است .
[math] \phi ‘ = U \\[/math]
ارتباط مجموعه مرجع با دیگر مجموعه ها :
[math]1)A \cup U = U \\2)A \cap U = A \\3)A – U = \phi \\4)U – A = A’ \\[/math]
ارتباط مجموعه تهی با دیگر مجموعه ها :
[math]1)A \cup \phi = A \\2)A \cap \phi = \phi \\3)A – \phi = A \\4)\phi – A = \phi \\[/math]
ارتباط هر مجموعه با متمم خودش:
[math]1)A \cup A’ = U \\2)A \cap A’ = \phi \\3)A – A’ = A \\4)A’ – A = A’ \\[/math]
خسته نباشید
خدا خیرتون بده همینو امتحان داشتم ولی اصلا هیچی نمیفهمیدم به لطف سایتتون الان راحت اینو فهمیدم ! … یه دنیا سپاس
دست خوش!….