تمریناتی از تابع نمایی
1-نمودار توابع [math] g(x) = {3^{x + 1}},h(x) = {3^x} – 2,k(x) = – {3^x},j(x) = {3^{ – x}} [/math] را رسم کنید .
من ابتدا تابع [math] f(x) = {3^x} [/math] را رسم می کنم و سپس در ادامه با استفاده از انتقال توابع بقیه نمودار ها را رسم می کنیم .
1-برای رسم نمودار [math] g(x) = {3^{x + 1}} [/math] با استفاده از انتقال نمودار f(x) رسم می شود .[math] g(x) = {3^{x + 1}} = f(x + 1) [/math] در اینجا در واقع ما نمودار را به اندازه 1 واحد به سمت چپ انتقال می دهیم در واقع اینجا ما از قاعده تغییر مکان افقی توابع در راستای محور y ها تابع را یک واحد به سمت چپ انتقال می دهیم.
2-برای رسم h(x) اینجا نیز با استفاده از [math] h(x) = {3^x} – 2 = f(x) – 2 [/math] با استفاده از انتقال توابع در راستای محور x ها ، نمودار را به اندازه 2 واحد در امتداد منفی محور y ها به سمت پایین منتقل می کنیم .
3-برای رسم تابع [math] k(x) = – {3^x} [/math] اینجا قرینه نسبت به محور x هاست نمودار [math]-f(x)[/math] در واقع قرینه تابع [math]f(x)[/math] نسبت به محور x است.در واقع اینجا با استفاده از [math] k(x) = – {3^x} = – f(x) [/math] نمودار را رسم می کنیم.
4-برای حالت [math] j(x) = {3^{ – x}} = f( – x) [/math] اینجا قرینه نمودار f(x) را نسبت به محور y ها بدست می آوریم .
2-تابع نمایی [math] y = {({m^2} – 1)^x} [/math] به ازای چه مقادیری صعودی است ؟
پاسخ :
می دانیم که تابع نمایی [math] y = {a^x} [/math] زمانی صعودی است که [math]a>1[/math] باشد پس داریم :
[math] ({m^2} – 1) > 1 \Rightarrow {m^2} > 2 \Rightarrow |m| > 2 [/math]
3-نمودار های دو تابع [math] f(x) = {3^{ax + b}},g(x) = {(\frac{1}{9})^x} [/math] در نقطه ای به طول [math]-1[/math] متقاطع هستند . اگر [math] f(2) = \frac{1}{3} [/math] باشد. مقدار [math] {f^{ – 1}}(27) [/math] .کدام است ؟(کنکور ریاضی -95)
1)[math]-3[/math] 2) [math]-2[/math] 3) [math]1[/math] 4) [math] 3[/math]
پاسخ : وقتی می گوییم دو تابع f,g در نقطه [math]x=-1[/math] متقاطع اند یعنی
[math]f\left( { – 1} \right) = g\left( { – 1} \right) \Rightarrow {3^{ – a + b}} = {(\frac{1}{9})^{ – 1}} \Rightarrow {3^{b – a}}= {3^2} \Rightarrow b – a = 2[/math]
از طرفی دیگر ر مساله گفته که
[math] f(2) = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^{2a + b}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^{2a + b}} = {3^{ – 1}} \Rightarrow 2a + b = – 1[/math]
اکنون با استفاده از رابطه های بدست آمده در بالا مقادیر a,b را بدست می آوریم .
[math]\left\{ \begin{array}{l} – a + b = 2\\ 2a + b = – 1 \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 1\\b = 1 \end{array} \right\}[/math]
با توجه به مقادیر بدست آمده در بالا [math] f(x) = {3^{ – x + 1}} [/math] .اکنون فرض می کنیم :
[math]{f^{ – 1}}(27) = m \Rightarrow f(m) = 27 \Rightarrow {3^{ – m + 1}} = 27 = {3^3} \Rightarrow – m + 1 = 3 \Rightarrow \\ m = – 2 [/math]
4-نمودارهای دو تابع [math] y = {3^x} + \frac{8}{3},y = {(\frac{{\sqrt 3 }}{3})^{2x}} [/math] در نقطه A متقاطع اند.فاصله نقطه A از نقطه [math] \left( { – 1,1} \right) [/math] کدام است ؟
1)[math]1[/math] 2)[math] \sqrt 2 [/math] 3)[math]2[/math] 4)[math] \sqrt 5 [/math]
(کنکور ریاضی-96)
پاسخ:
[math]{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^{2x}} = {3^x} + \frac{8}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = {3^x} + \frac{8}{3} \Rightarrow {3^x} + \frac{8}{3} = \frac{1}{{{3^x}}} [/math]
هر دو طرف معادله فوق را در [math]3^x[/math] ضرب می کنیم
[math] {({3^x})^2} + \frac{8}{3} \times {3^x} = 1 \Rightarrow 3{({3^x})^2} + 8 \times {3^x} – 3 = 0 \Rightarrow (3 \times {3^x} – 1)({3^x} + 3) = 0\\ 3 \times {3^x} – 1 = 0 \Rightarrow {3^{x + 1}} = 1 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = – 1 \Rightarrow y = 3 [/math]
فاصله بین نقاط [math] A( – 1,3),B( – 1,1) [/math] را بدست می آوریم :
[math] AB = \sqrt {{{( – 1 + 1)}^2} + {{(3 – 1)}^2}} = 2[/math]
5-اگر [math] f(x) = 1 – {(\frac{1}{2})^x} [/math] باشد،دامنه تابع [math] y = \sqrt {xf(x)} [/math] کدام بازه است ؟ ( کنکور ریاضی-93)
[math] 1)[ – 1,1]\\ 2)( – \infty ,0)\\ 3)( – \infty , + \infty )\\ 4)(0, + \infty ) [/math]
پاسخ : ابتدا می دانیم که برای بدست آوردن دامنه [math] y = \sqrt {xf(x)}[/math] زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد . اما چون اینجا ضرب دو عبارت هست پس ابتدا از x شروع می کنیم و حالتهای مختلف آن را امتحان می کنیم :
حالت اول :
[math] x \ge 0 \Rightarrow {2^x} \ge {2^0} \Rightarrow {2^x} \ge 1 \Rightarrow 0 < {(\frac{1}{2})^x} \le 1 \Rightarrow 1 – {(\frac{1}{2})^x} \ge 0 \Rightarrow xf(x) \ge 0 [/math]
حالت دوم:
[math] x \le 0 \Rightarrow {2^x} \le {2^0} \Rightarrow {2^x} \le 1 \Rightarrow {(\frac{1}{2})^x} \ge 1 \Rightarrow 1 – {(\frac{1}{2})^x} \le 0 \Rightarrow xf(x) \ge 0 [/math]
حالت اول و دوم قابل قبول است پس جواب گزینه 3 است.
6-نمودار تابع [math] f(x) = 3 – {(\frac{1}{2})^{ – x}} [/math] را رسم کنید.
برای رسم این نمودار از روش انتقال نمودارها استفاده می کنیم
1- ابتدا نمودار تابع [math] f(x) = {(\frac{1}{2})^x} [/math] را رسم می کنیم رو رسم این نمودار را در مطلب تابع نمایی آموزش داده ایم .
2-مرحله دوم در این مرحله قرینه نمودار فوق را نسبت به محور y ها بدست می آوریم یعنی در واقع رسم نمودار [math] g(x) = {(\frac{1}{2})^{ – x}} = f( – x) [/math]
3-مرحله سوم قرینه تابع فوق g(x)نسبت به محور x ها را بدست می آوریم یعنی در واقع
[math] h(x) = – {(\frac{1}{2})^{ – x}} = – g(x) [/math]
4-مرحله چهارم نمودار را تغییر مکان عمودی یعنی انتقال نمودار در راستای محور x ها و در امتداد مثبت محور y ها 3 واحد به سمت بالا می بریم :
[math] j(x) = – {(\frac{1}{2})^{ – x}} + 3 = 3 – – {(\frac{1}{2})^{ – x}} = h(x) + 3 [/math]
نمودار ما همان [math]j(x)=f(x)[/math] است که در شکل فوق با رنگ نارنجی مشخص شده است .