مشتق توابع بخش 9-مشتق گیری لگاریتمی
مشتق توابع 8-مشتق تابع لگاریتم
مشتق گیری لگاریتمی
من می خواهم این مطلب را با این سوال آغاز کنم که مشتق [math] y = {x^x} [/math] چگونه محاسبه می شود ؟
حتما خواهید گفت ای خدا این دیگه چیه ؟! اما نگران نباشید ،پیدا کردن مشتق این تابع ساده است.
تابع لگارینم طبیعی را یاد گرفتیم و در همین سایت در لینک زیر در مورد تابع لگاریتم طبیعی توضیح دادیم.
جزوه کامل لگاریتم و تابع نمایی
پس حالا با این مقدمه وقتشه که سوال بالا یعنی مشتق [math] y = {x^x} [/math] را بدست آوریم .
ببینید ما اینجا با مشتقی مواجه هستیم که به صورت متغیری به توان متغیر دیگر است .ساده ترین راه ،لگاریتم گیری از هر دو طرف تابع است.
[math] \ln y = \ln {x^x}\\ = x\ln x [/math]
اکنون رابطه [math] \ln y = x\ln x [/math] را بدست آوردیم .خوب حالا از هر دو طرف مشتق می گیریم،سمت چپ بر اساس متشق لگاریتم تابع طبیعی برابر [math] \frac{{y’}}{y} [/math] و سمت راست با استفاده از ققانون ضرب مشتق ها داریم :
[math] (\ln y)’ = (x\ln x)’\\\frac{{y’}}{y} = (x)’\ln x + x(\ln x)’\\\frac{{y’}}{y} = \ln x + x\frac{1}{x} [/math]
عبارت بالا را ساده کنیم خواهیم داشت:
[math] \frac{{y’}}{y} = 1 + \ln x [/math]
طرفین را در y ضرب می کنیم :
[math] y’ = y(1 + \ln x) [/math]
و چون طبق سوال می دانیم که [math] y = {x^x} [/math] پس در عبارت بالا به جای y مقدار [math] y = {x^x} [/math] را قرار می دهیم :
[math] y’ = {x^x}(1 + \ln x) [/math]
عبارت فوق مشتق تابع [math] y = {x^x} [/math] می باشد.
نتیجه گیری
هر گاه ما با تابعی مواجه می شویم که به صورت کلی [math] y = {(f(x))^{g(x)}} [/math] باشد.برای مشتق گیری از این تابع از روش مشتق گیری لگاریتمی استفاده می کنیم، یعنی ابتدا از هر دو طرف تابع لگاریتم طبیعی می گیریم و سپس مشتق آن را حساب می کنیم.
محاسبه مشتق توابع با معادلات پیچیده کاربرد فراوانی دارد این روش مبتنی بر لگاریتم است .گاهی شما با توابعی روبرو می شوید که اگر بخواهید مشتق آنها را بر اساس فرمولهای رایج حساب کنید کاری بسیار پیچیده می باشد اما با کمی دقت و تامل می توان با لگاریتم گرفتن از دو طرف معادله و سپس مشتقگیری از معادله جدید،مشتق تابع را محاسبه می کنیم یعنی اول از تابع لگاریتم می گیرید و سپس مشتق ،
فرض کنید [math] y=f(x) [/math]تابعی باشد می خواهیم مشتق آن را بر اساس مشتق گیری لگاریتمی حساب کنیم :
1-از هر دو ظرف تابع لگاریتم می گیریم :
[math] \ln y = \ln f(x) [/math]
سپس از هر دو طرف تابع مشتق می گیریم :
[math] (\ln y)’ = (\ln f(x))’\\\frac{{y’}}{y} = (\ln f(x))’\\y’ = y(\ln f(x))’ [/math]
اکنون این روش را با مثالهایی توضیح می دهیم :
مثال 1:مشتق [math] y = {\left( {1 – 3x} \right)^{\cos \left( x \right)}} [/math] را بدست آورید.
ابتدا از هر دو طرف لگاریتم طبیعی می گیریم :
[math] \ln y = \ln \left[ {{{\left( {1 – 3x} \right)}^{\cos \left( x \right)}}} \right] = \cos \left( x \right)\ln \left( {1 – 3x} \right) [/math]
اکنون از هر دو طرف مشتق می گیریم:
[math] \frac{{y’}}{y} = – \sin \left( x \right)\ln \left( {1 – 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{{ – 3}}{{1 – 3x}} = – \sin \left( x \right)\ln \left( {1 – 3x} \right) – \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 – 3x}} [/math]
[math] y’ = – y\left( {\sin \left( x \right)\ln \left( {1 – 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 – 3x}}} \right) [/math]
در عبار فوق به جای y مقدار داده شده در سوال را قرار می دهیم :
[math] = – {\left( {1 – 3x} \right)^{\cos \left( x \right)}}\left( {\sin \left( x \right)\ln \left( {1 – 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 – 3x}}} \right) [/math]
یاداوری و نکته مهم
در جدول زیر مقایسه ای انجام دادیم با تفاوت مشتق های در حالتهای مختلف
مشتق اعداد ثابت حتی اگر به توان برسند ، برابر صفر است. | [math] ({(a)^b})’ = 0 [/math] |
مشتق یک متغیر به توان n | [math]({x^n})’ = n{x^{n – 1}} [/math] |
مشتق تابع نمایی | [math] ({a^x})’ = {a^x}\ln a [/math] |
مشتق گیری لگاریتمی | [math] ({x^x})’ = {x^x}(1 + \ln x) [/math] |
اکنون این روش را با مثالهایی توضیح می دهیم :
مثالهای بیشتر :
[math] 2)y = {(2 – x)^{\sqrt x }} [/math]
از هر دو طرف لگاریتم می گیریم:
[math] \ln y = \ln ({(2 – x)^{\sqrt x }})\\(\ln y)’ = (\ln ({(2 – x)^{\sqrt x }}))’\\\frac{{y’}}{y} = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\ln (2 – x) + \frac{1}{{2 – x}}( – 1).\sqrt x \\y’ = y.\left[ {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2\sqrt x }} – \frac{{\sqrt x }}{{2 – x}}} \right]\\ = {(2 – x)^{\sqrt x }}.\left[ {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2\sqrt x }} – \frac{{\sqrt x }}{{2 – x}}} \right] [/math]
[math] 3)y = {x^7}{(x – 5)^3}{e^{{x^2} + 4}} [/math]
از هر دو طرف لگاریتم می گیریم :
[math] \ln y = \ln ({x^7}{(x – 5)^3}{e^{{x^2} + 4}})\\\ln y = \ln {x^7} + \ln {(x – 5)^3} + \ln {e^{{x^2} + 4}}\\\ln y = 7\ln x + 3\ln (x – 5) + ({x^2} + 4)\ln e\ [/math]
اکنون از هر دو طرف عبارت بالا مشتق می گیریم :
[math] (\ln y)’ = (7\ln x)’ + (3\ln (x – 5))’ + (({x^2} + 4)\ln e)’\\\frac{{y’}}{y} = 7.\frac{1}{x} + 3.\frac{1}{{x – 5}} + 2x\\y’ = \left[ {\frac{7}{x} + \frac{3}{{x – 5}} + 2x} \right].y\\y’ = \left[ {\frac{7}{x} + \frac{3}{{x – 5}} + 2x} \right].({x^7}{(x – 5)^3}{e^{{x^2} + 4}}) [/math]
از مشتق گیری لگاریتمی برای توابع پیچیده که به صورت حاصلضرب یا تقسیم باشه هم می توان استفاده کرد:
مشتق تابع [math] y = \sqrt[3]{{\frac{{(5x + 4)(9x – 1)}}{{{x^2} + 1}}}} [/math] محاسبه مشتق این تابع در حالت عادی سخته ، اما با مشتق گیری لگاریتمی خیلی ساده تر می شود پس از هر دو طرف آن لگاریتم می گیریم :
[math] lny = ln\sqrt[3]{{\frac{{(5x + 4)(9x – 1)}}{{{x^2} + 1}}}}\\lny = \frac{1}{3}\ln (\frac{{(5x + 4)(9x – 1)}}{{{x^2} + 1}})\\lny = \frac{1}{3}\left[ {\ln (5x + 4) + \ln (9x – 1) – \ln ({x^2} + 1)} \right] [/math]
اکنون از هر دو طرف عبارت بدست آمده بالا مشتق می گیریم:
[math] \frac{{y’}}{y} = \frac{1}{3}\left[ {\frac{1}{{5x + 4}}.5 + \frac{1}{{9x – 1}}.9 – \frac{1}{{{x^2} + 1}}.2x} \right]\\\\y’ = \frac{1}{3}\left[ {\frac{5}{{5x + 4}} + \frac{9}{{9x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right].y\\ = \frac{1}{3}\left[ {\frac{5}{{5x + 4}} + \frac{9}{{9x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right].\sqrt[3]{{\frac{{(5x + 4)(9x – 1)}}{{{x^2} + 1}}}} [/math]
مثال 5:مشتق تابع [math] y = \frac{{\sin \left( {3z + {z^2}} \right)}}{{{{\left( {6 – {z^4}} \right)}^3}}} [/math]
به روش مشتق گیری لگاریتمی:
[math] \ln \left( y \right) = \ln \left[ {\frac{{\sin \left( {3z + {z^2}} \right)}}{{{{\left( {6 – {z^4}} \right)}^3}}}} \right] = \ln \left[ {\sin \left( {3z + {z^2}} \right)} \right] – \ln \left[ {{{\left( {6 – {z^4}} \right)}^3}} \right]\\ = \ln \left[ {\sin \left( {3z + {z^2}} \right)} \right] – 3\ln \left[ {6 – {z^4}} \right] [/math]
از هر دو طرف مشتق می گیریم:
[math] \frac{{y’}}{y} = \frac{{\left( {3 + 2z} \right)\cos \left( {3z + {z^2}} \right)}}{{\sin \left( {3z + {z^2}} \right)}} – 3\left[ {\frac{{ – 4{z^3}}}{{6 – {z^4}}}} \right] = \left( {3 + 2z} \right)\cot \left( {3z + {z^2}} \right) + \frac{{12{z^3}}}{{6 – {z^4}}} [/math]
خواهیم داشت :
[math] y’ = y\left[ {\left( {3 + 2z} \right)\cot \left( {3z + {z^2}} \right) + \frac{{12{z^3}}}{{6 – {z^4}}}} \right]\\ = \frac{{\sin \left( {3z + {z^2}} \right)}}{{{{\left( {6 – {z^4}} \right)}^3}}}\left[ {\left( {3 + 2z} \right)\cot \left( {3z + {z^2}} \right) + \frac{{12{z^3}}}{{6 – {z^4}}}} \right] [/math]
باسلام،
ممنون از تمامی زحمات شما عزیزان در جهت پیشرفت علمی.
با سپاس فراوان
سلام همکار محترم مطالبتان عالیست متشکر
agha daste golet dard nakone….kheili behem komak kard