تمرینات بخش دنباله ها با پاسخ
1-جمله عمومی دنباله زیر چیست ؟
[math] \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},…… \\ [/math]
پاسخ :
ابتدا ترتیب جملات را می نویسیم :
[math] {a_1} = \frac{1}{2},{a_2} = \frac{2}{3},{a_3} = \frac{3}{4} \\ [/math]
صورت هر کسر برابر شماره جمله است ،مثلا صورت کسر جمله اول برابر یک است ، صورت کسر جمله دوم برابر 2 و به همین ترتیب الی اخر…
اما در مورد مخرج ،مخرج هر کسر برابر شماره جمله +1 می باشد پس جمله عمومی بصورت زیر خواهد بود .
[math] {a_n} = \frac{n}{{n + 1}} \\ [/math]
2-جمله n ام دنباله [math] – 1,1, – 1,1,… [/math] را بدست آورید .
پاسخ :
می دانیم جمله ها بصورت زیر هستند :
[math] {a_1} = – 1,{a_2} = 1,{a_3} = – 1,….. \\ [/math]
پس بطور کلی جمله عمومی بصورت زیر است :
[math] {a_1} = {( – 1)^1},{a_2} = {( – 1)^2},{a_3} = {( – 1)^3},….. \\ [/math]
[math] {a_n} = {( – 1)^n} [/math]
3-جمله عمومی دنباله ای بصورت [math] {a_n} = \frac{{3n – 1}}{n} [/math] سه جمله اول آن را بنویسید .
پاسخ :
[math]{a_1} = \frac{{3 \times 1 – 1}}{1} = 2 \\{a_2} = \frac{{3 \times 2 – 1}}{2} = \frac{5}{2} \\{a_3} = \frac{{3 \times 3 – 1}}{3} = \frac{8}{3} \\[/math]
گاهی ممکن استکه جمله عمومی یک دنباله را داشته باشیم و از ما بخواهند که یک جمله خاص این دنباله را معلوم کنیم یا مثلا بگویند کدام جمله این دنباله برابر فلان عدد است .
4-دنباله [math] {a_n} = \frac{n}{{n + 1}}[/math] ، جمله چندم این دنباله برابر [math] \frac{2}{3}[/math] است ؟
پاسخ:
[math] {a_n} = \frac{n}{{n + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow n = ? \\\frac{n}{{n + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3n = 2n + 2 \Rightarrow n = 2[/math]
بنابر این جمله دوم این دنباله برابر [math] \frac{2}{3}[/math] است.
5-در یک دنباله [math] {a_1} = 1[/math] و برای [math] n \ge 2[/math] داریم [math] {a_n} = 2{a_{n – 1}} + 1[/math] جمله هشتم این دنباله کدام است ؟ (کنکور تجربی 95)
1)127 2 )2159 3)247 4)255
پاسخ :
[math]{a_1} = 1 \\{a_2} = 2{a_1} + 1 = 2 + 1 = 3 = 4 – 1 = {2^2} – 1 \\{a_3} = 2{a_2} + 1 = 6 + 1 = 7 = 8 – 1 = {2^3} – 1 \\[/math]
با توجه به جملات بالا پس جمله عمومی ما بصورت زیر خواهد بود :
[math] {a_n} = {2^n} – 1[/math]
در نتیجه جمله هشتم بصورت زیر خواهد بود .
[math] {a_8} = {2^8} – 1 = 256 – 1 = 255[/math]
جواب گزینه 4 است .
6-در یک دنباله داریم [math] {t_{2n + 3}} = {n^2} + n – 1[/math] جمله یازدهم این نباله کدام است ؟
1)97 2)19 3)39 4)139
پاسخ :
می دانیم که جمله یازدهم یعنی [math] {t_{11}}[/math] پس باید اندیس را برابر 11 قرار دهیم یعنی :
[math] 2n + 3 = 11 \Rightarrow 2n = 11 – 3 \Rightarrow n = 4 \\ [/math]
حالا که مقدار n معلوم شد می توانیم جمله یازدهم را براحتی حساب کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}n = 4 \\{t_{2n + 3}} = {n^2} + n – 1 \\\end{array} \right\} \to {t_{11}} = {4^2} + 4 – 1 = 19 \\[/math]
7-در دنباله ای با جمله عمومی [math] {a_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \frac{1}{{n + 3}} + …. + \frac{1}{{n + n}}[/math] مقدار [math] {a_3} – {a_2}[/math] کدام است ؟
1)[math] \frac{1}{{30}}[/math]
2)[math] \frac{1}{{15}} [/math]
3) [math] \frac{1}{6} [/math]
4) [math] \frac{1}{{12}} [/math]
پاسخ :
[math]\left\{ \begin{array}{l}n = 2 \to {a_2} = \frac{1}{{2 + 1}} + \frac{1}{{2 + 2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\n = 3 \to {a_3} = \frac{1}{{3 + 1}} + \frac{1}{{3 + 2}} + \frac{1}{{3 + 3}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} +\frac{1}{6} \\\end{array} \right\} \to {a_3} – {a_2} = \\\\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) – (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} – \frac{1}{3} = \frac{1}{{30}} \\[/math]
پاسخ گزینه 1 درست است
ببخشیدمن سوال چهار رو متوجه نشدم میشه یکم واضح تر برام توضیح بدین…ممنون
سلام مرسی ممنون مثال های خوبی داشتین راستش به نظر من اینکه مثلا جمله یازدهم و چیزی مثل اینو پیدا کنی سخت نیست در واقع پیدا کردن جمله عمومی سخته من واقعا برام مشکله اکه ممکنه از پیدا کردن جمله عمومی مثال بیشتر بزنین
ممنون خيلي خوب بود
خیلی خوبه مطالب فقط اگه میشه تعداد تمرینات رو بیشتر کنید و واضح تر توضیح بدین توضیحات خیلی واضح نیست