مشتق توابع 4-فرمولهای اساسی و پایه مشتق

ما در بخش قبل پوستری ارائه دادیم که در آن اکثر فرمولهای مشتق را شامل می شد ، اما اکنون تصمیم داریم برخی از این فرمولها را بصورت تک تک بررسی کنیم و برای فهم بهرت تمریناتی برای انها نیز حل کنیم .

-مشتق یک عدد ثابت : حالتی است که تابع ما برابر یک عدد ثابت باشد (فرقی نمی کند که این عدد صحیح یا اعشاری یا مثبت و…) باشد ، در اینصورت مشتق یک عدد ثابت برابر صفر می باشد.

اگر [math]f(x)=c[/math] آن گاه [math] f'(x) = 0 [/math] یعنی مشتق تابع ثابت در هر نقطه برابر صفر است .

[math] f(x) = c\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c – c}}{h} = 0 [/math]

 

2-ضرب عدد در متغیر : اگر ما تابعی داشته باشیم که به صورت حاصلضرب یک عدد در یک متغیر باشد آنگاه مشتق ما برابر است با حاصلضرب آن عدد در مشتق آن متغیر است .

مشتق تابع [math]f(x)=kx[/math] که k یک عدد ثابت است برابر است با عدد k و به صورت زیر بدست می آید :

[math] f(x) = kx\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{kx + kh – kx}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{kh}}{h} = k [/math]

یعنی :

[math] f(x) = kx \Rightarrow f'(x) = k [/math]

3-قانون ضرب یک عدد در تابع : اگر k برابر عدد صحیح باشد و [math]f(x)[/math] یک تابع باشد .آنگاه مشتق عبارت [math]kf(x)[/math] به صورت

[math] (kf(x))’ = kf'(x) [/math]

 

3-قانون جمع چند  تابع : اگر دو یا بیش از یک تابع با هم جمع شوند آنگاه مشتق این توابع برابر است با حاصلجمع مشتق تک تک توابع است .

اگر [math] {f_1}\left( x \right),{f_2}\left( x \right),{f_3}\left( x \right),….{f_n}\left( x \right)  [/math] توابع دلخواهی باشد آنگاه مشتق جوع این توابع برابر است با :

[math] {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right) + {f_3}\left( x \right) + … + {f_n}\left( x \right)} \right]^\prime } = {f_1}^\prime \left( x \right) + {{f’}_2}\left( x \right) + {f_3}^\prime \left( x \right) + ….{{f’}_n}\left( x \right) [/math]

 

همین حالت بالا برای تفاضل هم صادق است یعنی مشتق تفاضل چند تابع برابر مشتق تک تک توابع.

4-مشتق تابع توان دار : اگر تابع ما یک جمله ای باشد که به توان عددی باشد دو حالت داریم :

الف : اگر توان ما عدد مثبت باشد :

اگر [math] n \in N [/math] و [math] f(x) = {x^n} [/math] آنگاه : [math] f'(x) = n{x^{n – 1}} [/math]

مثال 1: با توجه به فرمول بالا مشتق توابع

[math] f(x) = {x^2} \Rightarrow f'(x) = 2x\\f(x) = {x^3} \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} [/math]

 

ب: اگر توان ما عددی منفی باشد :

اگر تابع ما به صورت [math] f(x) = {x^{ – n}} [/math] یعنی دارای توان منفی باشد آنگاه مشتق آن برابر است با :

 

[math] f(x) = {x^{ – n}} \Rightarrow f'(x) =  – n{x^{ – n – 1}} =  – \frac{n}{{{x^{n + 1}}}} [/math]

مثال 2: مشتق تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] برابر است با :

[math] f(x) = \frac{1}{x} = {x^{ – 1}} \Rightarrow f'(x) =  – {x^{ – 1 – 1}} =  – {x^{ – 2}} =  – \frac{1}{{{x^2}}} [/math]

5-مشتق یک تابع چند جمله ای [math] f(x) = {a_n}{x^n} + … + {a_2}{x^2} + {a_1}x + a  [/math] برابر با مشتق تک تک جملات است :

[math] f'(x) = n{a_n}{x^{n – 1}} + … + 2{a_2}x + {a_1} [/math]

مثال 3: مشتق تابع [math] f(x) = 6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x [/math] برابر است با :

[math] f'(x) = {\left( {6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x} \right)^\prime } = {\left( {6{x^{100}}} \right)^\prime } + {\left( {7{x^{50}}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } [/math]

مشتق تک تک جملات در واقع حالتی از ضرب عدد در حالت توانی است پس :

[math] f'(x) = {\left( {6{x^{100}}} \right)^\prime } + {\left( {7{x^{50}}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } = 6(x100)\prime  + 7(x50)\prime  + 8(x)\prime [/math]

مشتق حالتهای توانی محاسبه می شود :

[math] f'(x) = 6(x100)\prime  + 7(x50)\prime  + 8(x)\prime  = 6 \times 100{x^{99}} + 7 \times 50{x^{49}} + 8 \times 1\\ = 600{x^{99}} + 350{x^{49}} + 8 = 2\left( {300{x^{99}} + 175{x^{49}} + 4} \right) [/math]

و سرانجام

6-مشتق یک تابع رادیکالی :هر گاه تابع ما به صورت [math] f(x) = \sqrt[m]{x} [/math] مشتق آن برابر است با :

[math] f'(x) = (\sqrt[m]{x})’ = \frac{1}{{m\sqrt[m]{{{x^{m – 1}}}}}} [/math]

مثال 4: مشتق [math] f(x) = \sqrt x [/math] برابر است با :

[math] f(x) = \sqrt x \\f'(x) = (\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }} [/math]

اکنون پس از این مقدمه در زیر چند مثال حل شده را مشاهده کنید .

مثال5: مشتق عبارتهای زیر را حساب کنید.

[math] 1)f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}\\f'(x) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = (\frac{1}{x})’ + (\frac{2}{{{x^2}}})’ + (\frac{3}{{{x^3}}})’\\ = (\frac{1}{x})’ + 2(\frac{1}{{{x^2}}})’ + 3(\frac{1}{{{x^3}}})’ = ({x^{ – 1}})’ + 2({x^{ – 2}})’ + 3({x^{ – 3}})’\\ =  – 1.{x^{ – 2}} + 2.( – 2){x^{ – 3}} + 3.( – 3){x^{ – 4}} =  – \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{4}{{{x^3}}} – \frac{9}{{{x^4}}} [/math]

 

[math] 2)f(x) = \sqrt[3]{{2{x^2}}}\\f(x) = \sqrt[3]{{2{x^2}}} = \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{2}{x^{\frac{2}{3}}}\\f'(x) = {\left( {\sqrt[3]{2}{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \sqrt[3]{2}{\left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \sqrt[3]{2}\cdot\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} = \sqrt[3]{2}\cdot\frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}\cdot{\left( {\frac{2}{x}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{x}}} [/math]

 

[math] 3)f(x) = 5{x^3} + 3 – \frac{2}{{{x^3}}} + \sqrt[3]{{{x^5}}}\\f'(x) = (5{x^3} + 3 – 2{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{3}}})’ = (5{x^3})’ + 3′ – (2{x^{ – 3}})’ + ({x^{\frac{5}{3}}})’\\ = 5.3{x^2} + 0 – 2.( – 3){x^{ – 3 – 1}} + \frac{5}{3}{x^{\frac{5}{3} – 1}} = 15{x^2} + 6{x^{ – 4}} + \frac{5}{3}{x^{\frac{2}{3}}}\\ = 15{x^2} + \frac{6}{{{x^4}}} + \frac{{5\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3} [/math]

[math] 4)f(x) = \sqrt[3]{{x\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\\f'(x) = (\sqrt[3]{{x\sqrt[3]{{{x^2}}}}})’ = (\sqrt[3]{{x.{x^{\frac{2}{3}}}}})’ = (\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{3}}}}})’ = ({\left( {{x^{\frac{5}{3}}}} \right)^{\frac{1}{3}}})’ = ({x^{\frac{5}{3}.\frac{1}{3}}})’\\ = ({x^{\frac{5}{9}}})’ = \frac{5}{9}{x^{\frac{5}{9} – 1}} = \frac{5}{9}{x^{ – \frac{4}{9}}} = \frac{5}{{9\sqrt[9]{{{x^4}}}}} [/math]