مشتق توابع 4-فرمولهای اساسی و پایه مشتق
ما در بخش قبل پوستری ارائه دادیم که در آن اکثر فرمولهای مشتق را شامل می شد ، اما اکنون تصمیم داریم برخی از این فرمولها را بصورت تک تک بررسی کنیم و برای فهم بهرت تمریناتی برای انها نیز حل کنیم .
-مشتق یک عدد ثابت : حالتی است که تابع ما برابر یک عدد ثابت باشد (فرقی نمی کند که این عدد صحیح یا اعشاری یا مثبت و…) باشد ، در اینصورت مشتق یک عدد ثابت برابر صفر می باشد.
اگر [math]f(x)=c[/math] آن گاه [math] f'(x) = 0 [/math] یعنی مشتق تابع ثابت در هر نقطه برابر صفر است .
[math] f(x) = c\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c – c}}{h} = 0 [/math]
2-ضرب عدد در متغیر : اگر ما تابعی داشته باشیم که به صورت حاصلضرب یک عدد در یک متغیر باشد آنگاه مشتق ما برابر است با حاصلضرب آن عدد در مشتق آن متغیر است .
مشتق تابع [math]f(x)=kx[/math] که k یک عدد ثابت است برابر است با عدد k و به صورت زیر بدست می آید :
[math] f(x) = kx\\f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{kx + kh – kx}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{kh}}{h} = k [/math]
یعنی :
[math] f(x) = kx \Rightarrow f'(x) = k [/math]
3-قانون ضرب یک عدد در تابع : اگر k برابر عدد صحیح باشد و [math]f(x)[/math] یک تابع باشد .آنگاه مشتق عبارت [math]kf(x)[/math] به صورت
[math] (kf(x))’ = kf'(x) [/math]
3-قانون جمع چند تابع : اگر دو یا بیش از یک تابع با هم جمع شوند آنگاه مشتق این توابع برابر است با حاصلجمع مشتق تک تک توابع است .
اگر [math] {f_1}\left( x \right),{f_2}\left( x \right),{f_3}\left( x \right),….{f_n}\left( x \right) [/math] توابع دلخواهی باشد آنگاه مشتق جوع این توابع برابر است با :
[math] {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right) + {f_3}\left( x \right) + … + {f_n}\left( x \right)} \right]^\prime } = {f_1}^\prime \left( x \right) + {{f’}_2}\left( x \right) + {f_3}^\prime \left( x \right) + ….{{f’}_n}\left( x \right) [/math]
همین حالت بالا برای تفاضل هم صادق است یعنی مشتق تفاضل چند تابع برابر مشتق تک تک توابع.
4-مشتق تابع توان دار : اگر تابع ما یک جمله ای باشد که به توان عددی باشد دو حالت داریم :
الف : اگر توان ما عدد مثبت باشد :
اگر [math] n \in N [/math] و [math] f(x) = {x^n} [/math] آنگاه : [math] f'(x) = n{x^{n – 1}} [/math]
مثال 1: با توجه به فرمول بالا مشتق توابع
[math] f(x) = {x^2} \Rightarrow f'(x) = 2x\\f(x) = {x^3} \Rightarrow f'(x) = 3{x^2} [/math]
ب: اگر توان ما عددی منفی باشد :
اگر تابع ما به صورت [math] f(x) = {x^{ – n}} [/math] یعنی دارای توان منفی باشد آنگاه مشتق آن برابر است با :
[math] f(x) = {x^{ – n}} \Rightarrow f'(x) = – n{x^{ – n – 1}} = – \frac{n}{{{x^{n + 1}}}} [/math]
مثال 2: مشتق تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] برابر است با :
[math] f(x) = \frac{1}{x} = {x^{ – 1}} \Rightarrow f'(x) = – {x^{ – 1 – 1}} = – {x^{ – 2}} = – \frac{1}{{{x^2}}} [/math]
5-مشتق یک تابع چند جمله ای [math] f(x) = {a_n}{x^n} + … + {a_2}{x^2} + {a_1}x + a [/math] برابر با مشتق تک تک جملات است :
[math] f'(x) = n{a_n}{x^{n – 1}} + … + 2{a_2}x + {a_1} [/math]
مثال 3: مشتق تابع [math] f(x) = 6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x [/math] برابر است با :
[math] f'(x) = {\left( {6{x^{100}} + 7{x^{50}} + 8x} \right)^\prime } = {\left( {6{x^{100}}} \right)^\prime } + {\left( {7{x^{50}}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } [/math]
مشتق تک تک جملات در واقع حالتی از ضرب عدد در حالت توانی است پس :
[math] f'(x) = {\left( {6{x^{100}}} \right)^\prime } + {\left( {7{x^{50}}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } = 6(x100)\prime + 7(x50)\prime + 8(x)\prime [/math]
مشتق حالتهای توانی محاسبه می شود :
[math] f'(x) = 6(x100)\prime + 7(x50)\prime + 8(x)\prime = 6 \times 100{x^{99}} + 7 \times 50{x^{49}} + 8 \times 1\\ = 600{x^{99}} + 350{x^{49}} + 8 = 2\left( {300{x^{99}} + 175{x^{49}} + 4} \right) [/math]
و سرانجام
6-مشتق یک تابع رادیکالی :هر گاه تابع ما به صورت [math] f(x) = \sqrt[m]{x} [/math] مشتق آن برابر است با :
[math] f'(x) = (\sqrt[m]{x})’ = \frac{1}{{m\sqrt[m]{{{x^{m – 1}}}}}} [/math]
مثال 4: مشتق [math] f(x) = \sqrt x [/math] برابر است با :
[math] f(x) = \sqrt x \\f'(x) = (\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }} [/math]
اکنون پس از این مقدمه در زیر چند مثال حل شده را مشاهده کنید .
مثال5: مشتق عبارتهای زیر را حساب کنید.
[math] 1)f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}\\f'(x) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = (\frac{1}{x})’ + (\frac{2}{{{x^2}}})’ + (\frac{3}{{{x^3}}})’\\ = (\frac{1}{x})’ + 2(\frac{1}{{{x^2}}})’ + 3(\frac{1}{{{x^3}}})’ = ({x^{ – 1}})’ + 2({x^{ – 2}})’ + 3({x^{ – 3}})’\\ = – 1.{x^{ – 2}} + 2.( – 2){x^{ – 3}} + 3.( – 3){x^{ – 4}} = – \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{4}{{{x^3}}} – \frac{9}{{{x^4}}} [/math]
[math] 2)f(x) = \sqrt[3]{{2{x^2}}}\\f(x) = \sqrt[3]{{2{x^2}}} = \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{2}{x^{\frac{2}{3}}}\\f'(x) = {\left( {\sqrt[3]{2}{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \sqrt[3]{2}{\left( {{x^{\frac{2}{3}}}} \right)^\prime } = \sqrt[3]{2}\cdot\frac{2}{3}{x^{\frac{2}{3} – 1}} = \sqrt[3]{2}\cdot\frac{2}{3}{x^{ – \frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}\cdot{\left( {\frac{2}{x}} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{x}}} [/math]
[math] 3)f(x) = 5{x^3} + 3 – \frac{2}{{{x^3}}} + \sqrt[3]{{{x^5}}}\\f'(x) = (5{x^3} + 3 – 2{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{3}}})’ = (5{x^3})’ + 3′ – (2{x^{ – 3}})’ + ({x^{\frac{5}{3}}})’\\ = 5.3{x^2} + 0 – 2.( – 3){x^{ – 3 – 1}} + \frac{5}{3}{x^{\frac{5}{3} – 1}} = 15{x^2} + 6{x^{ – 4}} + \frac{5}{3}{x^{\frac{2}{3}}}\\ = 15{x^2} + \frac{6}{{{x^4}}} + \frac{{5\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3} [/math]
[math] 4)f(x) = \sqrt[3]{{x\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\\f'(x) = (\sqrt[3]{{x\sqrt[3]{{{x^2}}}}})’ = (\sqrt[3]{{x.{x^{\frac{2}{3}}}}})’ = (\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{3}}}}})’ = ({\left( {{x^{\frac{5}{3}}}} \right)^{\frac{1}{3}}})’ = ({x^{\frac{5}{3}.\frac{1}{3}}})’\\ = ({x^{\frac{5}{9}}})’ = \frac{5}{9}{x^{\frac{5}{9} – 1}} = \frac{5}{9}{x^{ – \frac{4}{9}}} = \frac{5}{{9\sqrt[9]{{{x^4}}}}} [/math]
سلام
استاد عزیز حتماً از تجربیات ارزنده شما استفاده خواهیم کرد
با ذکر منبع
سپاس از زحمات شما
سلام و عرض ادب
مطالب خیلی ساده و روان بیان شده بود
کمک خیلی خوبی برای یادآوری مطالب فراموش شده کرد
خیلی متشکرم
خدا خیرت بده از گیجی در اومدم
با عرض سلام و درود
مثال 3 خیلی جالب بود مرسی بابت زحماتتون
🙂
سپاس فراوان از زحماتتون
دسخوش ناموسا!خیلی عالی وساده!
دمتون گرم که زحمت میکشید!
Likeeeeeeee
نوش جون
ممنون بابت مطالب اگر ممکن است قسمت مشتق روابط مثلثاتی هم به سایت اضافه کنید مرسی