برخی از قضایای حدهای بی نهایت
برخی از قضایای حدهای بی نهایت
در نوشته قبلی (——حدهای نامتناهی ——–) گفتیم که :
یعنی در واقع تقسیم هر عدد غیر صفر بر صفری حدی برابر مثبت یا منفی بی نهایت می شود . اکنون این رو به صورتی دقیقتر و به زبان ریاضی میخواهیم مطرح کنیم .
قضیه 1: اگر n یک عدد طبیعی باشید، آن گاه :
چون در قضیه بالا صورت کسر عدد 1 بود یعنی عددی مثبت و غیر صفر است پس با توجه مخرج و صفر حدی [math] {0^ + },{0^ – } [/math] و همچنین توان داده شده برای صفر حدی ،مشخص می شود که نتیجه کسر ما مثبت یا منفی بی نهایت خواهد شد.
مثال 1:
در جدول فوق حدهای با توان مثبت و فرد نشان داده شده است و می بینیم که وقتی توان زوج باشد حد چپ و راست صفر حدی در هر دو حالت مثبت بی نهایت است .و همچنین اگر به نمودارها دقت کنیم در [math] \frac{1}{{{x^4}}},\frac{1}{{{x^2}}} [/math] وقتی x به سمت صفر نزدیک می شود نمودار تابع ما در هر دو حالت به سمت مثبت بی نهایت می رود.
مثال 2: حد های زیر را حساب کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{x – 3}} [/math]
حد فوق اگر در مخرج عدد 3 را قرار دهیم برابر صفر می شود و حاصل بی نهایت می شود اما باید مشخص کنیم که مثبت یا منفی بی نهایت است پس باید حد چپ و راست را جداگانه محاسبه کنیم .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x – 3}} = \frac{1}{{{3^ + } – 3}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{1}{{x – 3}} = \frac{1}{{{3^ – } – 3}} = \frac{1}{{{0^ – }}} = – \infty [/math]
قضیه 2:
الف )اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = + \infty [/math] آن گاه [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty [/math] و بر عکس.
ب) اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = – \infty [/math] آن گاه [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = – \infty [/math] و بر عکس.
مثال 3: حد [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{|x – 1|}} [/math] را حساب کنید.
نکته ای که اینجا وجود دارد این است که چون مخرج قدر مطلق دارد پس در همه احوال مخرج مثبت است پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{2}{{|x – 1|}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{2}{{|x – 1|}} = + \infty [/math]
پس با توجه به قضیه 2 حد برابر می شود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{|x – 1|}} = + \infty [/math]
قضیه یک و 2 که تا الان گفتیم مربوط می شد به حالتهایی که صورت کسر برابر عدد یک است . اکنون باید حالتهای عمومی و کلی کسر را بررسی کنیم یعنی صورت کسر برابر عددی غیر از یک باشد. طبق عکسی که در ابتدای مطلب نشان دادیم حالتی که کسر به صورت تقسیم عدد غیر صفر بر صفر حدی می شود را می توان به صورت قضیه کلی زیر نوشت :
قضیه 3: اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \ne 0 [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0 [/math] آن گاه داریم :
الف )اگر [math]L>0[/math] و مقادیر [math]g(x)[/math] در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آن گاه : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty [/math]
ب )اگر [math]L<0[/math] و مقادیر [math]g(x)[/math] در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آن گاه : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = – \infty [/math]
پ )اگر [math]L>0[/math] و مقادیر [math]g(x)[/math] در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آن گاه : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = – \infty [/math]
ت )اگر [math]L<0[/math] و مقادیر [math]g(x)[/math] در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آن گاه : [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty [/math]
در واقع قضیه فوق را می توان به صورت زیر بیان کرد:
نکته مهم و کاربردی :
من اینجا روشی غیر رسمی برای محاسبه حد کسرهایی که مخرجشان صفر حدی می شود را توضیح می دهم:
وقتی که [math] x \to a [/math] مخرج کسری را صفر حدی می کند و در نتیجه عبارت ما برابر بی نهایت می شود . برای یافتن علامت بی نهایت ،عددی نزدیک a را در عبارت قرار می دهیم .علامت مقدار به دست آمده ،در واقع علامت بی نهایت مورد نظر ما خواهد بود .
مثال 4:حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{x + 1}}{{4 – {x^2}}} [/math] را بدست آورید .
می دانیم که اگر در مخرج عدد 2 را قرار دهیم حاصل آن صفر می شود اما صورت کسر ما صفر نمی شود پس عددی نزدیک به 2 از سمت چپ را جایگزین می کنیم ما اینجا عدد [math]x=1.9[/math] را قرار می دهیم :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{x + 1}}{{4 – {x^2}}}\\x = 1.9\end{array} \right\} \to \frac{{1.9 + 1}}{{4 – {{(1.9)}^2}}} = \frac{{2.9}}{{4 – 3.6}} = \frac{{2.9}}{{0.4}} = + \infty [/math]
همانطور که در بالا می بینید مخرج ما عدد [math]0.4[/math] شد که مثبت است و با توجه به اینکه صورت کسر ما هم عددی مثبت بود پس صورت مثبت و مخرج مثبت .حاصل کسر ما مثبت بی نهایت می شود.
روش دوم :استفاده از تعیین علامت است .
مطابق جدول تعیین علامت فوق وقتی [math] x \to {2^ – } [/math] یعنی مقادیر [math] x < 2[/math] را در نظر می گیریم .خوب طبق جدول فوق عبارت [math] – {x^2} + 4 [/math]در ناحیه ای که [math]x<2[/math] برابر مثبت است یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{2 + 1}}{{{0^ + }}} = + \infty [/math]
مثال 5:حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x – 1}}{{\sin x}} [/math] را بدست آورید.
خوب در این مثال هم مشخصه که مخرج ما برابر صفر می شود اما باید بررسی کنیم که صفر مثبت یا صفر منفی .برای این کار از همان روش غیر رسمی جایگزاری اعداد استفاده می کنیم .
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x – 1}}{{\sin x}}\\x = 0.5\end{array} \right\} \to \frac{{0.5 – 1}}{{\sin (0.5)}} = \frac{{ – 0.5}}{{0.008}} = \frac{{ – 0.5}}{{{0^ + }}} = – \infty [/math]
مخرج ما برابر صفر مثبت شد اما صورت ما منفی شد پس نتیجه حد ما منفی بی نهایت است.
روش دوم بررسی تغییرات مخرج از روی نمودار سینوسها است :
نمودار فوق را ببیند. این نمودار سینوس است در همسایگی راست صفر sinx مقداری مثبت است . از طرفی دیگر صورت کسر ما عددی منفی است پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x – 1}}{{\sin x}} = \frac{{{0^ + } – 1}}{{{0^ + }}} = \frac{{ – 1}}{{{0^ + }}} = – \infty [/math]
مثال 6:حد های زیر را حساب کنید.
[math] a)\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}} [/math]
مقدار این حد برابر [math] \frac{0}{0} [/math] مبهم است پس برای رفع ابهام آن:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{x}{{x + 1}} [/math]
مخرج کسر ما صفر می شود .باز از روش غیر رسمی می توان عددی مانند
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{x}{{x + 1}}\\x = – 1.1\end{array} \right\} \to \frac{{ – 1.1}}{{ – 1.1 + 1}} = \frac{{ – 1.1}}{{{0^ – }}} = + \infty [/math][math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{[x] – 2}}{{x – 2}}\\x \to {2^ – } \to x < 2 \Rightarrow [x] = 1\\x = 1.9\end{array} \right\} \to \frac{{[1.9] – 2}}{{1.9 – 2}} = \frac{{1 – 2}}{{{0^ – }}} = \frac{{ – 1}}{{{0^ – }}} + \infty [/math]
قضیه 4:اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = + \infty [/math] و یا [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = – \infty [/math] آنگاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 [/math]
در واقع یعنی تقسیم هر عدد بر بی نهایت برابر صفر می شود .
نکته :قضیه فوق در حالتی که [math] x \to {a^ + } [/math] و یا [math] x \to {a^ + } [/math] نیز برقرار است.
مثال 7:حاصل حد زیر را بدست آورید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} [/math]
صورت این کسر مخص است که برابر یک مقدار عددی است . اما در مخرج می دانیم که تانژانت 90 درجه بی نهایت است پس طبق قضیه بالا تقسیم هر عدد بر بی نهایت صفر می شود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = \frac{{\frac{\pi }{2} + 1}}{\infty } = 0 [/math]
محاسبات بی نهایت ها
1-جمع:
[math] ( – \infty ) + ( – \infty ) = – \infty [/math] | [math] ( + \infty ) + ( + \infty ) = + \infty [/math] |
2-ضرب
[math] ( – \infty )( – \infty ) = + \infty [/math] | [math] ( + \infty )( + \infty ) = + \infty [/math] |
[math] ( – \infty )( + \infty ) = – \infty [/math] | [math] ( + \infty )( – \infty ) = – \infty [/math] |
3- جمع عدد با بی نهایت (فرض کنیم x عدد دلخواهی باشد)
[math] x + ( – \infty ) = – \infty [/math] | [math] x + \infty = + \infty [/math] |
[math] x – ( – \infty ) = + \infty [/math] |
4-ضرب عدد در بی نهایت
[math] x \times ( – \infty ) = – \infty [/math] | [math] x \times ( + \infty ) = + \infty [/math] | [math]x>0[/math] |
[math] x \times ( – \infty ) = + \infty [/math] | [math] x \times ( + \infty ) = – \infty [/math] | [math]x<0[/math] |
5-به توان رساندن
به توان فرد | به توان زوج |
[math] {( \pm \infty )^{2k + 1}} = \pm \infty [/math] | [math] {( \pm \infty )^{2k}} = + \infty [/math] |
مثال 8:حاصل حدهای عبارت زیر را بدست آورید
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2x + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}) [/math]
می دانیم که [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2x + 1) = 1 [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{{x^2}}}) = + \infty [/math] یعنی با حالتی مواجه می شویم که عدد با مثبت بی نهایت جمع می شود پس طبق 3 جمع عدد با بی نهایت
[math] 1 + \infty = + \infty [/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} [/math]
حد فوق را می توان به صورت زیر تفکیک کرد و سپس آن را حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\frac{1}{x} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}})\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1\end{array} \right\} \to + \infty + 1 = + \infty [/math]
مثال 9:تابع [math] f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} [/math] و [math] g(x) = x + 1 [/math] را در نظر بگیرید .حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \times g(x) [/math] را حساب کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \times g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{{x^2}}})(x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{0 + 1}}{{{0^ + }}} = + \infty [/math]
حاصل عبارت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) [/math] را حساب کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{{x^2}}}) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 1) = + \infty \times 1 = + \infty [/math]
چون ضرب عدد مثبت یک در مثبت بی نهایت می شود مثبت بی نهایت.