مجانب مایل
مجانب مایل
در مطالب گذشته در مورد حد توابع در بی نهایت و همچنین مجانب قائم و افقی صحبت کردیم . گفتیم که برای محاسبه مجانب افقی باید [math] x \to \infty [/math] میل کند اما همیشه نمی توان با [math] x \to \infty [/math] مجانب افقی را حساب کرد ،چون گاهی با مجانبی دیگر مواجه می شویم که به آن مجانب مایل می گوییم.
در حالت کلی وقتی [math] x \to \infty [/math] نمودار زیر را خواهیم داشت :
نمودار فوق نشان می دهد که ما گاهی [math] x \to \infty [/math] ممکن است مجانب افقی داشته باشیم ، اما اگر حاصل حد برابر بی نهایت شد مجانب مایل خواهیم داشت .
تعریف مجانب مایل : خط [math]y=ax+b[/math] را مجانب مایل نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] می نامیم هر گاه حداقل یکی از شرایط زیر برقرار باشد:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) – (ax + b)) = 0 [/math]
ویا
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (f(x) – (ax + b)) = 0 [/math]
که به صورت تقریبی زیر است :
در شکل بالا می بینید که خط [math]y=ax+b[/math] یک خط مایل است .
در واقع مجانب مایل خطی است که هنگامی که x به سمت بی نهایت میل کند ،y نیز به سمت بی نهایت میل می کند.
روش کلی بدست آورن مجانب مایل به این صورت است که برای بدست آوردن a,b در معادلع خط مجانب از رابطه های زیر استفاده می کنیم اول a را حساب می کنیم و سپس b را بدست می آوریم:
[math] a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) – ax) [/math]
اگر a,b هر دو عددی مشخص بودند خط [math]y=ax+b[/math] مجانب مایل نمودار است.اما اگر هر کدام از a,b نامشخص یا برابر بی نهایت شدند ،نگاه منحنی مجانب مایل ندارد.
اکنون با استفاده از توضیحاتی که گفتیم مثالهای زیر را بررسی می کنیم :
مثال1:مجانب مایل [math] f(x) = \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}} [/math] را بدست آورید.
ابتدا باید برای خط [math]y=ax+b[/math] مقادیر a,b را حساب کنیم:
[math] a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}}.\frac{1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} + x}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}}}{{{x^2}}} = 2\\ [/math]
اکنون با استفاده از a می توانیم b را بدست آوریم .
[math] a = 2\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}} – 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}} – \frac{{2x(x + 1)}}{{x + 1}})\\\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}} – \frac{{2{x^2} + 2x}}{{x + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2{x^2} + x – 2{x^2} – 2x}}{{x + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{ – x}}{{x + 1}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{ – x}}{x}) = – 1 \Rightarrow b = – 1\\ [/math]
پس فهمیدیم که [math]a=2,b=-1[/math] پس معادله مجانب ما به صورت زیر است :
[math] a = 2\\b = – 1\\y = ax + b \Rightarrow y = 2x – 1 [/math]
نمودار تابع و مجانب افقی آن در شکل زیر نشان داده شده است :
مثال2: مجانب مایل [math] f(x) = x + \sin x [/math] را بدست آورید.
ابتدا a,b را حساب می کنیم a به صورت زیر است :
[math] a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + \sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (1 + \frac{{\sin x}}{x}) = 1 [/math]
اکنون b را حساب می کنیم :
[math] b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + \sin x – x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sin x [/math]
حد سینوس در بی نهایت وجود ندارد، لذا b اینجا تعریف نشده و وجود ندارد پس تابع ما دارای مجانب مایل نیست .
مثال 3: اگر[math]y=2x+3[/math] مجانب مایل منحنی [math] y = \frac{{a{x^2} + bx + 2}}{{x – 1}} [/math] باشد a,b را بیابید .
در ابتدای بحث گفتیم که خط [math]y=ax+b[/math] مجانب مایل تابع [math]f(x)[/math] است اگر داشته باشیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – (ax + b)) = 0 [/math]
خوب اینجا معادله مجانب داده شده است پس با استفاده از تساوی بالا حل می کنیم
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – (ax + b)) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{a{x^2} + bx + 2}}{{x – 1}} – (2x + 3)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{a{x^2} + bx + 2}}{{x – 1}} – \frac{{(2x + 3)(x – 1)}}{{x – 1}})\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{(a – 2){x^2} + (b – 1)x + 5}}{{x – 1}}) = 0 [/math]
چون حاصل کسر فوق باید صفر شود. بنابراین باید ضرایب [math] x,{x^2} [/math] در صورت کسر برابر صفر شوند یعنی :
[math] b – 1 = 0 \to b = 1\\a – 2 = 0 \to a = 2 [/math]
چند روش برای یافتن مجانبهای مایل بعضی توابع
1-حالت خاص توابع کسری
اگر ضابطه تابع به صورت
[math] f(x) = \frac{{a{x^{n + 1}} + b{x^n} + …}}{{a'{x^n} + b'{x^{n – 1}} + …}} [/math]
باشد که درجه صورت دقیقا یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد آنگاه خارج قسمت تقسیم صورت بر مخرج همان مجانب مایل است.
مثال 4:مجانب مایل [math] f(x) = \frac{{{x^3} + 4{x^2} – x + 5}}{{{x^2} + 2x + 2}} [/math] بدست آورید.
اینجا چون درجه صورت دقیقا یک واحد بیشتر از مخرج است پس تقسیم می کنیم
خط [math]y=x+2[/math] مجانب مایل است .
مثال 5:مجانب مایل [math] f(x) = \frac{{x\sqrt x – x – \sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 1}} [/math] بدست آورید.
خط [math]y=x-1[/math] مجانب مایل است .
2-مجانب مایل برای توابع رایکالی
برای تعیین مجانب های افقی و مایل توابع به صورت
[math] f(x) = ax + b \pm \sqrt[n]{{\alpha {x^n} + \beta {x^{n – 1}} + …}} [/math]
می توان از هم ارزی
[math] y = ax + b \pm \sqrt[n]{\alpha }|x + \frac{\beta }{{n\alpha }}| [/math]
استفاده کرد .(اگر n زوج باشد [math] \alpha > 0 [/math] و اگر n فرد باشد قدر مطلق نیاز نیست.
مثال5:مجانبهای تابع [math] f(x) = x + \sqrt {{x^2} + 3x + 1} [/math] را بدست اورید.
با استفاده از هم ارزی داده شده داریم :
[math] y = x + \sqrt 1 |x + \frac{3}{2}| \to \left\{ \begin{array}{l}x \to + \infty \Rightarrow y = x + x + \frac{3}{2} \Rightarrow y = 2x + \frac{3}{2}\\x \to – \infty \Rightarrow y = x – x – \frac{3}{2} \Rightarrow y = – \frac{3}{2}\end{array} \right\} [/math]
تابع فوق مجانب مایل مجانب افقی دارد.
تست های کنکوری مجانب ها در این لینک می توانید تست های کنکوری را با جواب تحلیلی آنها مشاهده کنید