مشتق توابع 6-مشتق تابع مرکب (قاعده زنجیره ای)
بخش 5-مشتق حاصلضرب و تقسیم دوتابع
قبل از اینکه بحث مشتق توابع مرکب را مطرح کنم ابتدا سعی می کنم مفهوم تابع مرکب را با هم مرور کنیم .
اگر ما دو تابع [math]f(x),g(x)[/math] را داشته باشیم ، طبق تعریف ترکیب دو تابع بصورت
[math]fog=f(g(x))[/math]
الان من سعی می کنم این مفهوم را بصورت تصویری نمایش دهم تا بهتر به ذهن ما نزدیکتر شود.در ترکیب تابع خروجیها [math]f(g(x))[/math]تابع g در واقع ورودیهای تابع f خواهند بود .
در شکل بالا ، اگر ورودی تابع g یک کره باشد خروجی آن یک مکعب مستطیل است ، خروجی تابع g (همان مکعب) در اینجا ،به عنوان ورودی برای تابع f خواهد بود . شکل بالا بصورت گرافیکی ترکیب دو تابع را به خوبی نمایش می دهد.اکنون اگر فرض کنیم
h(x)=f(g(x))
تابع h در واقع نتیجه ترکیب دو تابع f , g خواهد بود که بصرت گرافیکی زیر نشان داده می شود .
در تابع بالا h تابعی بود(ماشین یا دستگاهی ) که یک کره دایره ای بصورت ورودی وارد این تابع h می شود و در نهایت خروجی آن یک چند وجهی بود . اگر دقت کنیم ورودی به تابع h همان ورودی به تابع g است و خورجی تابع h نیز همان حاصل خروجی تابع f است .خوب پس اگر بخواهیم مشتق تابع h را بدست آوریم باید تغییرات خروجیها به ورودیهای تابع h را با استفاده از حد و تعریف مشتق بصورت زیر بدست می آوریم .
و چون می دانیم که خروجیهای تابع h همان ورودیها تابع f است و ورودیهای تابع h همان ورودیها به تابع g هستند پس مشتق بصورت زیر خواهد بود .
ما می دانیم که خروجی تابع f یک شکل چند وجهی هست و همچنین ورودی تابع g یک کره دایره ای است . پس مشتق تابع h با توجه به شکل بالا بصورت زیر می شود .
پس با این مقدمه و توضیحات بالا می رسیم به اصل تعریف مشتق تابع مرکب و قاعده زنجیره ای
قاعده زنجیره ای
فرض کنید [math]f,g[/math] توابعی مشتق پذیر باشند و [math]fog[/math] ترکیب آن دو باشد .در این صورت داریم :
[math](fog)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)[/math]
مثالها حل شده از مشتق تابع مرکب و قاعده زنجیره ای
[math] 1)y = {(4{x^2} + 1)^7} [/math]
اولین نکته [math]y=f(g(x))[/math] به این شکل است که [math] f(x)={x^7} [/math] و [math] g(x) = 4{x^2} + 1 [/math] .بنابر این
[math] f(x) = {x^7},g(x) = 4{x^2} + 1\\f'(x) = 7{x^6}\\f'(g(x)) = 7{(4{x^2} + 1)^6}\\g'(x) = 8x [/math]
بنابر مشتق قاعده زنجیره ای داریم :
[math] y’ = 4{(4{x^2} + 1)^6}(8x) = 56x{(4{x^2} + 1)^6} [/math]
[math]2)y = \sin 2x\\f(x) = \sin x,g(x) = 2x\\\left\{ \begin{array}{l}f'(x) = \cos x \Rightarrow f'(g(x)) = \cos 2x\\g'(x) = 2
\end{array} \right\} \to f'(g(x)) = \cos 2x.2 = 2\cos 2x[/math]
در جدول زیر به صورت مرحله به مرحله دو مثال را حل کرده ایم :
[math] f'(g(x))g'(x) [/math] | [math] f'([])g'(x) [/math] | [math] g'(x) [/math] | [math] f'([]) [/math] | [math]g(x)[/math] | [math] f([]) [/math] | [math]f(g(x))[/math] |
[math] \cos (\cos x)( – \sin x) [/math] | [math] \cos ([])( – \sin x) [/math] | [math] – \sin (x) [/math] | [math] \cos ([]) [/math] | [math]cos(x)[/math] | [math] \sin ([]) [/math] | [math]sin(cos(x))[/math] |
[math] (4{\tan ^3}x)(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}) [/math] | [math] (4{[]^3} + 0)(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}) [/math] | [math] \frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}} [/math] | [math] 4{[]^3} + 0 [/math] | [math]tan(x)[/math] | [math] {[]^4} + 1 [/math] | [math] {\tan ^4}(x) + 1 [/math] |
[math] 3)y = \cos {x^3}\\y’ = (\cos {x^3})’ = \sin {x^3}.({x^3})’ = \sin {x^3}.3{x^2} = 3{x^2}\sin {x^3} [/math]
[math] 4)y = \ln \tan x\\y’ = (\ln \tan x)’ = \frac{1}{{\tan x}}.(\tan x)’ = \frac{1}{{\tan x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x.{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{\sin x.\cos x}} [/math]
[math] 5)y = \ln \frac{1}{{{x^2}}}\\y’ = {\left( {\ln \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\frac{1}{{{x^2}}}}}\cdot{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = {x^2}\cdot{\left( {{x^{ – 2}}} \right)^\prime } = {x^2}\cdot\left( { – 2{x^{ – 3}}} \right) = – \frac{{2{x^2}}}{{{x^3}}} = – \frac{2}{x} [/math]
[math] 6)y = {(\sqrt x – 2)^7}\\y’\left( x \right) = {\left[ {{{\left( {\sqrt x – 2} \right)}^7}} \right]^\prime } = 7{\left( {\sqrt x – 2} \right)^6}\cdot{\left( {\sqrt x – 2} \right)^\prime } = 7{\left( {\sqrt x – 2} \right)^6}\cdot\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{{7{{\left( {\sqrt x – 2} \right)}^6}}}{{2\sqrt x }}\;\\ [/math]
درود
ممنون از مطالب خوبتون
امیدوارم سایتتون پا برجا بمونه
سپاسگذارم مطلبتون مختصر و مفید بود
ممنون خیلی خوب بود