روشها و قضایای محاسبه حدهای نامتناهی در بی نهایت
در پست قبلی در مورد حدهای نامتنهای در بی نهایت و مفهوم حالتهای مختلف آنها صحبت کردیم در این بحث و در ادامه مطلب میخواهیم برخی قضایای مربوط به محاسبه این گونه حدهای صحبت کنیم.
قضیه 1: اگر n عددی طبیعی باشد آنگاه :
حاصلضرب عدد در بی نهایت
در مطلب گذشته حالت زیر را گفتیم که عدد ضربدر بی نهایت به شکل زیر بود :
اکنون می خواهیم این را به صورت یک قضیه ریاضی بیان کنیم کل قضایای زیر را به صورت بالا در تصویر خلاصه کرده ایم که می توانید به راحتی در ذهنتون بسپارید اما برای فهم ریاضی قضایای زیر را بررسی می کنیم :
قضیه 2:اگر L عددی حقیقی و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty [/math] آنگاه داریم :
نکته :قضیه فوق برای حالت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g(x) = – \infty [/math] نیز به همین روش برقرار است.
قضیه 3: اگر L عددی حقیقی و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = L [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g(x) = + \infty [/math] آن گاه:
نکته :قضیه فوق برای حالت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g(x) = – \infty [/math] به همین روش بر قرار است.
اکنون قضایای فوق را در مقدمه گفتیم حالا وقتشه که چند مثال را حل کنیم تا ببینیم چجوری میشه از اینها استفاده کرد .در واقع ما می خواهیم زمینه سازی کنیم تا برسیم به محاسبه حد چند جمله ایها در بی نهایت.
مثال 1:حدود زیر را محاسبه کنید.
[math] a)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + x – 1) [/math]
در گام اول می توانیم از [math] {x^3} [/math] فاکتور بگیریم و به حالت زیر می رسیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + x – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{1}{{{x^3}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + \frac{1}{{{{( – \infty )}^2}}} – \frac{1}{{{{( – \infty )}^3}}}) [/math]
در کسر فوق ما در مخرجهای عبارت [math] {( – \infty )^2} = + \infty [/math] و [math] {( – \infty )^3} = – \infty [/math] را داریم که طبق قضیه 1 که در ابتدا بحث گفتیم نتیجه آن مشخص شد و کسر به صورت زیر خواهد بود :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + \frac{1}{{{{( – \infty )}^2}}} – \frac{1}{{{{( – \infty )}^3}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + \frac{1}{{ + \infty }} – \frac{1}{{ – \infty }}) [/math]
از طرفی دیگر ما در بخشهای قبلی یاد گرفتیم که [math] \frac{1}{{ \pm \infty }} = 0 [/math] پس نتیجه کسر فوق ما به صورت زیر خواهد شد:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + \frac{1}{{ + \infty }} – \frac{1}{{ – \infty }}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}( – 2 + 0 – 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } – 2{x^3} [/math]
اکنون طیق قضایای 2 و 3 گفته شده در بالا حاصلضرب عدد منفی در منفی بی نهایت برابر مثبت بی نهایت است :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } – 2{x^3} = ( – 2) \times {( – \infty )^3} = ( – 2) \times ( – \infty ) = + \infty [/math]
من اکنون برای سادگی قضایای بالا را به صورت جدول زیر خلاصه می کنیم :
[math] ( + x) \times ( – \infty ) = – \infty [/math] | [math] ( + x) \times ( + \infty ) = + \infty [/math] |
[math] ( – x) \times ( – \infty ) = + \infty [/math] | [math] ( – x) \times ( + \infty ) = – \infty [/math] |
به توان رسانی بی نهایت
[math] {( + \infty )^{2k + 1}} = + \infty [/math] | [math] {( + \infty )^{2k}} = + \infty [/math] |
[math] {( – \infty )^{2k + 1}} = – \infty [/math] | [math] {( – \infty )^{2k}} = + \infty [/math] |
[math] b)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 – 2x – 5{x^4}) [/math]
ابتدا فاکتور می گیریم
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 – 2x – 5{x^4}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}(\frac{3}{{{x^4}}} – \frac{2}{{{x^3}}} – 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } – 5{x^4} = – \infty [/math]
در عبارت بالا وقتی به [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } – 5{x^4} [/math] یعنی در واقع ضرب عدد منفی در مثبت بی نهایت است که نتیجه برابر منفی بی نهایت می شود.
[math] c)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{2}{3}{x^3} + \frac{4}{5}{x^7} + 2) [/math]
ابتدا فاکتور می گیریم
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{2}{3}{x^3} + \frac{4}{5}{x^7} + 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^7}(\frac{2}{{3{x^4}}} + \frac{4}{5} + \frac{2}{{{x^7}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{5} \times {x^7} = \frac{4}{5} \times {( + \infty )^7} = + \infty [/math]
تا اینجای بحث گفتیم و یاد دادیم که در بی نهایت چگونه می توان حد چند جمله ایها را حساب کرد . اما این روش خیلی کاربردی نیست. مخصوصا اگر چند جمله ای ما دارای جملات زیادی باشه .اگر بخواهیم با این روش حد تک ت جملات را حساب کنیم کاری زمان بر و خسته کننده خواهد بود .
قضیه 4:به طور کلی حد هر چند جمله ای به صورت
[math] f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0} [/math]
در [math] \pm \infty [/math] برابر حد جمله ای از آن است که دارای بزرگترین درجه است یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n} [/math]
مثالهای بالا را دوباره مرور می کنیم
در مثال a که به [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + x – 1) [/math] نتیجه حد برابر متبت بی نهایت بود . حالا اگر بخواهیم بر اساس بزرگترین درجه چند جمله ای حساب کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + x – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3}) = – 2 \times {( – \infty )^3} = – 2 \times ( – \infty ) = + \infty [/math]
در مثال b که [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 – 2x – 5{x^4}) [/math] برابر منفی بی نهایت بود حالا براساس بزرگترین درجه حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 – 2x – 5{x^4}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( – 5{x^4}) = – 5 \times {( + \infty )^4} = – 5 \times ( + \infty ) = – \infty [/math]
خوب تا اینجا حد چند جمله ای را یاد گرفتیم . حالا اگر این چند جمله ای به صورت کسری باشه که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشد .
قضیه 5:اگر [math] f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0} [/math] و [math] g(x) = {b_m}{x^m} + {b_{m – 1}}{x^{m – 1}} + … + {b_1}x + {b_0} [/math] دو چند جمله ای باشند آنگاه :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}{x^{n – m}} [/math]
که برای این کسر بستگی به مقدار nوm سه حالت زیر ممکنه اتفاق بیوفته :
[math] m > n \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}{x^{n – m}} = 0\\m = n \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}{x^{n – m}} = \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}\\m < n \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}{x^{n – m}} = \pm \infty [/math]
مثال 2:حدود زیر را حساب کنید:
[math] a)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^3} – 7x + 1}}{{2{x^2} – x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^3}}}{{2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{3}{2}x = \infty \\\\b)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ – 3{x^3} + x – 1}}{{6{x^3} – 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ – 3{x^3}}}{{6{x^3}}} = – \frac{1}{2}\\\\c)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} – x + 1}}{{4{x^3} + 2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2}}}{{4{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{2x}} = 0 [/math]
[math] d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{(2x – 3)}^{20}}{{(3x + 2)}^{30}}}}{{{{(2x + 1)}^{50}}}} [/math]
این حد را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{({{(2x)}^{20}} + …)({{(3x)}^{30}} + …)}}{{{{(2x)}^{50}} + …}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{(2x)}^{20}}{{(3x)}^{30}}}}{{{{(2x)}^{50}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{2^{20}} \times {3^{30}} \times {x^{50}}}}{{{2^{50}} \times {x^{50}}}}\\\\ = \frac{{{3^{30}}}}{{{2^{30}}}} = {(\frac{3}{2})^{30}} [/math]
[math] e)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} }}{{2x – 7}} [/math]
ابتدا در مخرج کسر از x و در صورت کسر ، در زیر رادیکال از [math] {x^2} [/math] فاکتور می گیریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} }}{{2x – 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{5}{{{x^2}}})} }}{{x(2 – \frac{7}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}} \sqrt {1 + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x(2 – \frac{7}{x})}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x(2 – \frac{7}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x(2 – \frac{7}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{(2 – \frac{7}{x})}} = \frac{{\sqrt 1 }}{2} = \frac{1}{2} [/math]