مثلثات بخش 5-رابطه شیب خط با تانژانت زاویه
رابطه شیب خط با تانژانت زاویه
ما در پایه نهم در مورد شیب خط و معادله خط مفصل صحبت کرده ایم و آموزشهایی را نوشته ایم که می توانید برای یادآوری فیلمهای آن را مشاهده کنید .
اما بطور خلاصه و برای یاد آوری پیشنهاد می کنم فیلم زیر را مشاهده کنید .
اکنون با این مقدمه فهمیدیم که شیب خط چیست خط به معادله
[math]y=ax+b[/math]
در نظر بگیرید این خط با جهت مثبت محور [math] \theta [/math] داشته باشد
شیب خط برابر
اگرمثلث بالا رو در نظر بگیرید که یک ضلع آن [math] {x_2} – {x_1}[/math] و ضلع دیگر آن [math] {y_2} – {y_1}[/math] باشد ، این یک مثلث قائم الزاویه است و در یک مثلث قائم الزاویه می دانیم که تانژانت زاویه در اینجا زاویه [math] \theta [/math] برابر ضلع مقابل تقسیم بر ضلع مجاور است پس :
[math] \tan \theta = \frac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}}[/math]
از توضیحات بالا چه نتیجه ای می گیریم :
شیب هر خط که محور افقی را قطع می کند ، برابر است با تانژانت زاویه بین آن خط و جهت مثبت محور افقی است.به عبارت دیگر ،اگر زاویه [math] \alpha [/math] زاویه ای باشد که خط با جهت مثبت محور افقی می سازد، آنگاه :
شیب خط=[math] \tan \alpha [/math]
مثال1 :معادله خطی را بنویسید که زاویه آن با محور x ها 45 درجه است و نقطه (0,2) رو آن قرار دارد .
جواب :
با توجه به اینکه شیب یک خط برابر است با تانژانت زاویه آن خط با جهت مثبت محور افقی x ها است.
[math]m=tan45=1[/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = mx + b \\m = 1 \\\end{array} \right\} \to y = x + b \\[/math]
مختصات نقطه (0,2) باید در معادله بدست آمده صدق کند پس :
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = x + b \\(0,2) \\\end{array} \right\} \to 2 = 0 + b \to b = 2 \\\left\{ \begin{array}{l}b = 2 \\m = 1 \\\end{array} \right\} \to y = x + 2 \\[/math]
مثال 2: با توجه به شکل زیر ،معادله خط [math] \ell [/math] را بدست آورید.
با توجه به شکل بالا ما یه طرف زاویه 120 درجه است ، پس طرف دیگر که در واقع زاویه با جهت مثبت محور x ها است ما زاویه ای داریم 60 درجه پس شیب خط ما :
[math] m = \tan 60 = \sqrt 3 [/math]
پس معادله خط ما بصورت زیر خواهد بود
[math] \left\{ \begin{array}{l}y = mx + b \\m = \sqrt 3 \\\end{array} \right\} \to y = \sqrt 3 x + b \\[/math]
از طرفی دیگر طبق شکل بالا خط ما از نقطه (0,-3) نیز می گذرد پس مختصات این نقطه باید در معادله خط ما صدق کند
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 x + b \\(0, – 3) \\\end{array} \right\} \to – 3 = \sqrt 3 \times 0 + b \to b = – 3 \\\left\{ \begin{array}{l}b = – 3 \\m = \sqrt 3 \\\end{array} \right\} \to y = \sqrt 3 x – 3 \\[/math]