قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال(بخش 2)
اگر تابع [math]f[/math] بر بازه [math][a,b][/math] پیوسته باشد و [math]F[/math] یک تابع اولیه تابع [math]f[/math] باشد که [math]F'(x) = f(x)[/math] در این صورت داریم :
[math]\int_a^b {f(x)dx} = F(b) – F(a)[/math]
مثال 1:مطلوب است محاسبه [math]\int_1^4 {{x^2}dx}[/math]
اینجا ابتدا باید تابع اولیه [math]{x^2}[/math] را بدست آوریم . از فرمولهای پایه انتگرال می دانیم که [math]\frac{{{x^3}}}{3}[/math] یک تابع اولیه [math]{x^2}[/math] است. پس
[math]\int_1^4 {{x^2}dx} = \frac{{64}}{3} – \frac{1}{3} = \frac{{63}}{3} = 21[/math]
راهنمایی استفاده از این قضیه بنیادی
1-شما می توانید ابتدا معکوس مشتق یا همان انتگرال تابع [math]f[/math] را با استفاده از فرمولهای انتگرال پیدا کنید .در واقع شما باید تابع اولیه [math]f[/math] را پیدا می کنید.
2-پس از پیدا کردن تابع اولیه اکنون می توانید مقدار تابع بدست آمده را در حد بالا و پایین انتگرال محاسبه کنید .
[math]\int_a^b {f(x)dx} = F(x)]_a^b = F(b) – F(a)[/math]
3-در این انتگرال گیری دیگر متغیر ثابت C برای انتگرال نداریم چون :
[math]\int_a^b {f(x)dx} = \left[ {F(x) + C} \right]_a^b = \left[ {F(b) + C} \right] – \left[ {F(a) + C} \right]\\ = F(b) + C – F(a) – C = F(b) – F(a)[/math]
این قضیه در واقع نماد انتگرال معین است :
به جای نوشتن [math]F(b)-F(a)[/math] معمولا مي نويسيم [math]F(x)|_a^b[/math] یعنی
[math]F(x)|_a^b = F(b) – F(a)[/math]
به عبارت دیگر :
[math]\int_a^b {f(x)dx} = F(x)|_a^b = F(b) – F(a)[/math]
نکته : دقت کنید که فرق بین انتگرال نامعین و انتگرال معین را باید بدانید:
همانطور که در تصویر بالا می بینید نتیجه انتگرال نامعین تابعی بر حسب x می باشد. اما نتیجه انتگرال معین یک عددی است که مقدارش بستگی به [math]F[/math] و اعداد a و b دارد.
چند تمرین از انتگرال معین حل می کنیم .
[math]a)\int_1^2 {({x^2} – 3)dx} \\= \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} – 3x} \right]_1^2 = \left( {\frac{8}{3} – 6} \right) = – \frac{2}{3}\\\\\\b)\int_1^4 {3\sqrt x dx} \\
= 3\int_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = 3\left[ {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{^{\frac{3}{2}}}}} \right]_1^4 = 2{(4)^{^{\frac{3}{2}}}} – 2{(1)^{^{\frac{3}{2}}}} = 14[/math]
مثال 2: در مثال زیر انتگرال معین یک عبارت قدر مطلق را حساب می کنیم .
[math]\int_0^2 {|2x – 1|dx}[/math]
ابتدا عبارت داخل قدر مطلق را در نمودار زیر ببینیم:
طبق نمودار بالا ، نمودار تابع قدر مطلق ما در دو ناحیه تعریف شده است .یعنی در واقع اگر تعیین علامت کنیم به صورت زیر خواهد بود :
[math]|2x – 1| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – (2x – 1)}&{x < \frac{1}{2}}\\{2x – 1}&{x \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right\}[/math]
اکنون بر اساس نمودار و تفکیکی که در بالا بدست آوردیم انتگرال ما به صورت زیر خواهد بود :
[math]\int_0^2 {|2x – 1|dx} = \int_0^{\frac{1}{2}} { – (2x – 1)dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {(2x – 1)dx} } \\\\ = \left[ { – {x^2} + x} \right]_0^{\frac{1}{2}} + \left[ {{x^2} – x} \right]_{\frac{1}{2}}^2\\ = \left( { – \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} \right) – (0 + 0) + (4 – 2) – \left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2}[/math]
مثال 3: مساحت ناحیه محصور بین دو منحنی [math]y = 2x – {x^2},x + y = 0[/math] را بدست آورید.
ابتدا باید نقاط تقاطع این دو منحنی را بدست آوریم :
[math]2x – {x^2} = – x \Rightarrow {x^2} – 3x = 0\\ \Rightarrow x\left( {x – 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 0,\;{x_2} = 3[/math]
اکنون مساحت ناحیه محصور شده (رنگی) بین دو منحنی در شکل بالا را باید حساب کنید
در واقع اینجا حد بالا انتگرال ما روی منحنی [math]y = 2x – {x^2}[/math] و حد پایین انتگرال (ناحیه محصور شده ) روی منحنی [math]y = – x[/math] قرار دارد
[math]S = \int\limits_0^3 {\left[ {2x – {x^2} – \left( { – x} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^3 {\left( {2x – {x^2} + x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3\\ = \frac{{27}}{2} – \frac{{27}}{3} = \frac{9}{2}[/math]
