فرمولهای پایه انتگرال
فرمولهای پایه انتگرال
در درسهای گذشته یاد گرفتیم که انتگرال و مشتق معکوس یکدیگر هستند یعنی می توانیم [math] F'(x) [/math] را با تابعی مانند [math]F(x)[/math] جايگزین کنیم .که این رابطه به صورت زیر تعریف می شود:
اینجا انتگرال ،معکوس مشتق است. |
[math] \int {F'(x)dx = } F(x) + c [/math]
|
به تعبیری دیگر هر گاه از انتگرال متشق بگیریم تابع جلوی انتگرال بدست می آید :
اینجا مشتق ، معکوس انتگرال است. | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\int {F'(x)dx} } \right] = F(x) [/math] |
با این مقدمه و با توجه به اینکه ما فرمولهای مشتق را یادگرفتیم پس می توانیم انتگرال خیلی از توابع پایه را بر اساس فرمول مشتق بدست آوریم :
انتگرال توابع پایه به صورت زیر است در جدول زیر مشتق هر تابعی را با مشابه انتگرال آن مقایسه می کنیم مثلا در اولین سطر جدول می دانیم که اگر C يک عدد ثابت باشه پس مشتق آن صفر است . حالا بر عکس انتگرال عدد صفر می شود یک عدد ثابت مانند C و به همين ترتيب برای بقیه سطرها جدول معادل سازی از فرمولهای انتگرال است :
فرمول انتگرال | فرمول مشتق |
[math] \int {0 = C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ C \right] = 0 [/math] |
[math] \int {kdx = kx + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {kx} \right] = k [/math] |
[math] \int {kf(x)dx = k\int {f(} x)dx} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {kf(x)} \right] = kf'(x) [/math] |
[math] \int {[f(x) \pm g(x)]dx = \int {f(} x)dx} \pm \int {g(} x)dx [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = f'(x) \pm g(x)’ [/math] |
[math] \int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n – 1}}}}{{n + 1}} + C} \\n \ne – 1 [/math]
|
[math] \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^n}} \right] = n{x^{n – 1}} [/math] |
[math] \int {\frac{1}{x}dx = \ln |x| + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\ln x} \right] = \frac{1}{x},x > 0 [/math] |
[math] \int {\cos xdx = \sin x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\sin x} \right] = \cos x [/math] |
[math] \int {\sin xdx = – \cos x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\cos x} \right] = – \sin x [/math] |
[math] \int {{{\sec }^2}xdx = \tan x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\tan x} \right] = {\sec ^2}x [/math] |
[math] \int {\sec x\tan xdx = \sec x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\sec x} \right] = \sec x\tan x [/math] |
[math] \int {{{\csc }^2}dx = – \cot x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\cot x} \right] = – {\csc ^2}x [/math] |
[math] \int {\csc x\cot xdx = – \csc x + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {\csc x} \right] = – \csc x\cot x [/math] |
[math] \int {{e^x}dx = {e^x} + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {{e^x}} \right] = {e^x} [/math] |
[math] \int {{a^x}dx = (\frac{1}{{\ln a}}){a^x} + C} [/math] | [math] \frac{d}{{dx}}\left[ {{a^x}} \right] = (\ln a){a^x} [/math] |
نکته مهم : ممکن است فرآیند انتگرال گیری ما به صورت زیر باشد :
مثال 1:حاصل [math] \int {3xdx} [/math] را حساب كنيد .
طبق نکته بالا ما فرآیند زیر را خواهیم داشت :
حاصل محاسبه انتگرال فوق را می توان به صورت خلاصه زیر نوشت :
[math] \int {3xdx} = 3\int {xdx} = 3(\frac{{{x^2}}}{2} + c) = \frac{3}{2}{x^2} + c [/math]
مثال 2: مشابه حالت بالا مثالهاي زیر را حل می کنیم :
ساده سازی جواب | انتگرال گیری | بازنویسی | انتگرال |
[math] – \frac{1}{{2{x^2}}} + c [/math] |
[math] \frac{{{x^{ – 2}}}}{{ – 2}} + c [/math] |
[math] \int {{x^{ – 3}}dx} [/math] |
[math] \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} [/math] |
[math] \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + c [/math] |
[math] \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{^{\frac{3}{2}}}} + c [/math] |
[math] \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} [/math] |
[math] \int {\sqrt x dx} [/math] |
[math] – 2\cos x + c [/math] |
[math] 2( – \cos x) + c [/math] |
[math] 2\int {\sin xdx} [/math] |
[math] \int {2\sin xdx} [/math] |
[math] 3\ln |x| + c [/math] |
[math] 3(\ln |x|) + c [/math] |
[math] 3\int {\frac{1}{x}dx} [/math] |
[math] \int {\frac{3}{x}dx} [/math] |
مثال 3: حاصل [math] \int {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}} dx [/math] را بدست آورید.
ابتدا کسر را تفکیک می کنیم |
[math] \int {(\frac{x}{{\sqrt x }}} + \frac{1}{{\sqrt x }})dx [/math] |
باز نویسی کسرها به صورت توان
دقت کنید که کسرها را ساده کردیم و به صورت توان نوشتیم |
[math] \int {({x^{\frac{1}{2}}}} + {x^{ – \frac{1}{2}}})dx [/math] |
محاسبه انتگرال |
[math] \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + c [/math] |
ساده سازی |
[math] \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 2{x^{\frac{1}{2}}} + c [/math] |
[math] \frac{2}{3}\sqrt x (x + 3) + c [/math] |
مثال 4: حاصل [math] \int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} [/math] را بدست آورید.
ابتدا بازنویسی و تفکیک می کنیم |
[math] \int {(\frac{1}{{\cos x}})(\frac{{\sin x}}{{\cos x}})dx} [/math] |
باز اگر دقت کنیم می توانیم عبارتهای بالا را با معادلهای مثلثاتی آن بازنویسی کنیم می دانیم که :
[math] \frac{1}{{\cos x}} = \sec x [/math] |
[math] \int {\sec x\tan xdx} [/math] |
با استفاده از جدول فرمولهای پایه انتگرال جواب بدست می آید : |
[math] \sec x + c [/math] |
مثال 5: در انتگرالهای زیر پس از بازنویسی و ساده سازی جواب انتگرالها را بدست می آوریم.
ساده سازی جواب | انتگرال گیری | بازنویسی | انتگرال |
[math] 4{x^{\frac{1}{2}}} + c [/math] |
[math] 2(\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}) + c [/math] |
[math] 2\int {{x^{ – \frac{1}{2}}}} [/math] |
[math] \int {\frac{2}{{\sqrt x }}} [/math] |
[math] \frac{1}{5}{x^5} + \frac{2}{3}{x^3} + x + c [/math] |
[math] \frac{{{x^5}}}{5} + 2(\frac{{{x^3}}}{3}) + x + c [/math] |
[math] \int {({x^4} + 2{x^2} + 1)dx} [/math] |
[math] \int {{{({x^2} + 1)}^2}dx} [/math] |
[math] \frac{1}{2}{x^2} – \frac{3}{x} + c [/math] |
[math] \frac{{{x^2}}}{2} + 3(\frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}}) + c [/math] |
[math] \int {(x + 3{x^{ – 2}})dx} [/math] |
[math] \int {\frac{{{x^3} + 3}}{{{x^2}}}dx} [/math] |
[math] \frac{7}{3}{x^{\frac{7}{3}}} – 3{x^{\frac{4}{3}}} + c [/math] |
[math] \frac{{{x^{\frac{7}{3}}}}}{{\frac{7}{3}}} – 4(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{7}{3}}}) + c [/math] |
[math] \int {({x^{\frac{4}{3}}} – 4{x^{\frac{1}{3}}})dx} [/math] |
[math] \int {\sqrt[3]{x}(x – 4)dx} [/math] |