بدست آوردن جمله عمومی الگوهای خطی (درجه یک) الگوهای غیر خطی تا درجه سه
الگوی خطی، ما می دانیم که الگوی خطی به فرم [math]an+b[/math] است.و اختلاف هر دو جمله متوالی آن یک عدد ثابت است و برابر [math]a[/math] است ، خوب من می خواهم یه روش کلی و عمومی برای بدست اوردن جمله عمومی الگوها بدست بیاورم . این روش در اکثر الگوها جواب میده ، با یک مثال این روش را توضیح میدهم :
مثال : دنباله [math]11,7,3,-1,-5,-9,..[/math] مفروض است ، جمله عمومی آن را بدست آورید .
ابتدا باید ببینیم این الگو خطی است یا نه ؟پس ابتدا اختلاف هر دو جمله متوالی را بدست می آوریم .
تفاضل جمله اول و دوم | [math] {t_2} – {t_1} = 7 – 11 = – 4 [/math] |
تفاضل جمله سوم و دوم | [math] {t_3} – {t_2} = 3 – 7 = – 4 [/math] |
مشخص است که این الگو ، یک الگوی خطی است .پس حتما فرم جمله عمومی آن بصورت [math]an+b[/math] خواهد بود . خوب حالا چطور می توانیم این جمله عمومی برای دنباله فوق را بدست آوریم .
من می دانم که جمله اول در دنباله فوق عدد 11 است پس :
[math] {t_n} = an + b \Rightarrow {t_1} = a(1) + b \Rightarrow {t_1} = a + b[/math]
از طرف دیگر می دانیم که جمله اول عدد 11 است پس داریم :
[math] {t_1} = a + b = 11[/math]
جمله دوم برابر عدد 7 است پس این هم بصورت زیر خواهد بود :
[math] {t_n} = an + b \Rightarrow {t_2} = a(2) + b \Rightarrow {t_2} = 2a + b[/math]
از طرف دیگر می دانیم که جمله دوم عدد 7 است پس داریم :
[math] {t_2} = 2a + b = 7[/math]
تا الان ما دوتا معادله یکی برای جمله اول و یکی برای جمله دوم بدست آوردیم ، حالا سعی می کنیم با حل آنها و بدست آوردن مجهولات این دو معادله جمله عمومی را بدست آوریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = a + b = 11 \\{t_2} = 2a + b = 7 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a + b = 11 \\2a + b = 7 \\\end{array} \right\} \\[/math]
معادله بالایی را در منفی ضرب می کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}- a – b = – 11 \\2a + b = 7 \\\end{array} \right\} \to – a – b + (2a + b) = – 11 + 7 \\a = – 4 \\[/math]
اکنون مقدار a را در معادله اول قرار می دهیم تا مقدار b هم بدست آید .
[math]\left\{ \begin{array}{l}a + b = 11 \\a = – 4 \\\end{array} \right\} – 4 + b = 11 \Rightarrow b = 15[/math]
اکنون که a,b بدست آمدند براحتی می توانیم در جمله عمومی [math]an+b[/math] جایگذاری کنیم تا مقدار جمله عمومی ما معلوم شود :
[math]\left\{ \begin{array}{l}b = 15 \\a = – 4 \\{t_n} = an + b \\\end{array} \right\} \to {t_n} = – 4n + 15[/math]