جمع ریمان و انتگرال معین
در بخش قبل ،اندازه مساحت یک ناحیه مفروض را به صورت حد زیر تعریف کردیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i})\Delta x} [/math]
برای رسیدن به این تعریف بازه [math][a,b][/math] را به n زیر بازه با طول مساوی تقسیم می کردیم و [math]{c_i}[/math] را به عنوان نقطه ای در زیر بازه i ام در نظر می گرفتیم .همچنین گفتیم که تابع f در بازه [math][a,b][/math] باید غیر منفی و پیوسته باشد . یک مثال برای یادآوری بهتر حل می کنیم .
مثال 1 :مساحت زیر نمودار [math]f(x) = \sqrt x[/math] را در بازه [math][0,1][/math] بدست آورید.
برای حل می دانیم که این تابع داده شده در بازه [math][0,1][/math] غیر منفی و پیوسته است ، اکنون باید این بازه را به n قسمت مساوی تقسیم کنیم و از رابطه حدی بالا مساحت زیر ناحیه را حساب کنیم :
طبق شکل فوق بازه [math][0,1][/math] را به n قسمت مساوی تقسیم کردیم و [math]{c_i}[/math] را نقطه انتهایی هر بازه در نظر بگیریم
[math]{c_i} = \frac{{{i^2}}}{{{n^2}}}[/math]
دلتا x به صورت زیر :
[math]\Delta {x_i} = \frac{{{i^2}}}{{{n^2}}} – \frac{{{{(i – 1)}^2}}}{{{n^2}}} = \frac{{{i^2} – {i^2} + 2i – 1}}{{{n^2}}} = \frac{{2i – 1}}{{{n^2}}}[/math]
پس بر اساس فرمول محاسبه مساحت خواهیم داشت که :
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i})\Delta {x_i} = } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {\frac{{{i^2}}}{{{n^2}}}} \left( {\frac{{2i – 1}}{{{n^2}}}} \right) = } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2{i^2} – i} \right)} \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\left[ {2\left( {\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}} \right) – \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^3} + 3{n^2} – n}}{{6{n^3}}} = \frac{2}{3}[/math]
جمع ریمان
فرض کنیم [math]f[/math] تابعی پیوسته و غیر منفی بر بازه بسته [math][a,b][/math] باشد [math]S[/math] ناحیه محصور زیر این منحنی از [math]x=a[/math] تا [math]x=b[/math] باشد:
ابتدا بازه زیر منحنی را به n بازه تقسیم می کنیم نقاط بین [math]a,b[/math] به صورت زیر خواهد بود :
[math]a = {x_0} < {x_1} < {x_2} < \cdots < {x_i} < \cdots < {x_n} = b[/math]
دقت کنید نقاط [math]{x_0},{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_i}, \cdots ,{x_n}[/math] لزوما از یکدیگر به یک فاصله نیستند ، اینجا n تا زیر بازه به صورت زیر خواهیم داشت :
[math]\left[ {{x_0},{x_1}} \right],\left[ {{x_1},{x_2}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{n – 1}},{x_n}} \right][/math]
عرض هر بازه را می توان به صورت زیر نشان داد :
[math]\Delta {x_i} = {x_i} – {x_{i – 1}}[/math]
[math]\Delta {x_1} = {x_1} – {x_0}[/math] طول اولین زیر بازه [math]\Delta {x_2} = {x_2} – {x_1}[/math] طول دومین زیر بازه و [math]\Delta {x_i} = {x_i} – {x_{i – 1}}[/math] طول i امین زیر بازه است .
طول بزرگترین زیر بازه از مجموعه بازه های بالا را افراز [math]\Delta[/math] یا نورم [math]\Delta[/math] می نامیم و با علامت [math]\left\| \Delta \right\|[/math] نشان می دهیم.
[math]\left\| \Delta \right\| = \max \left\{ {\Delta {x_1},\Delta {x_2}, \ldots ,\Delta {x_n}} \right\}[/math]
هر گاه طول بازه ها مساوی باشد ما افراز یا نورم را می توانیم به صورت زیر محاسبه کنیم :
[math]\left\| \Delta \right\| = \frac{{b – a}}{n}[/math]
حالا به ابن نکته دقت کنید ما در ابتدای درس و در درس قبلی گفتیم که [math]n \to \infty[/math] برای همین در نورم(افراز) دلتا باید به سمت صفر میل کند.
[math]\left\| \Delta \right\| = \frac{{b – a}}{n}\\n \to \infty \Rightarrow \left\| \Delta \right\| \to 0[/math]
خوب اکنون اگر در هر کدام از بازه های داده شده نقطه [math]{c_i}[/math] را انتخاب کنیم :
مساحت هر کدام از مستطیل های [math]{R_i}[/math] به صورت [math]f({c_i})\Delta {x_i}[/math] است. و با توجه به این مساحت کل سطح زیر منحنی فوق به صورت زیر خواهد بود :
[math]S = \sum\limits_{i = 1}^n {f({c_i})\Delta {x_i}} \\{x_{i – 1}} < {c_i} < {x_i}[/math]
مجموع پایین ریمانی
هر گاه در تعریف مجموع ریمانی ،هر نقطه [math]{c_i}[/math] چنان اختیار شوند که [math]f({c_i})[/math] مینیمم مطلق تابع f در بازه [math][{x_{i – 1}},{x_i}][/math] باشد آنگاه مجموع بدست امده را مجموع پایین ریمانی تابع f در بازه [math][a,b][/math] می گوییم.
مجموع بالای ریمانی
هر گاه در تعریف مجموع ریمانی ،هر نقطه [math]{c_i}[/math] چنان اختیار شوند که [math]f({c_i})[/math] ماکسیمم مطلق تابع f در بازه [math][{x_{i – 1}},{x_i}][/math] باشد آنگاه مجموع بدست امده را مجموع بالای ریمانی تابع f در بازه [math][a,b][/math] می گوییم.
تمرین 1: مساحت زیر منحنی [math]f(x) = {x^2}[/math] را در بازه [math][0,10[/math] با استفاده از جمع ریمان حساب کنید.
برای حل این مساله ابتدا این بازه را به 5 قسمت متساوی تقسیم می کنیم :
مطابق شکل بالا نقاط [math]{c_i}[/math] به صورت زیر است :
[math]{c_i} = \{ 1,3,5,7,9\}[/math]
چون بازه ها را مساوی تقسیم کردیم پس اینجا [math]\Delta x = 2[/math] اکنون مجموع ریمان به این صورت خواهد بود :
[math]S = \sum\limits_{i = 1}^5 {f\left( {{c_i}} \right)\Delta x} = \Delta x\left[ {f\left( {{c_1}} \right) + f\left( {{c_2}} \right) + \cdots + f\left( {{c_5}} \right)} \right]\\
= 2\left( {{1^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} + {9^2}} \right) = 2\left( {1 + 9 + 25 + 49 + 81} \right) = 330[/math]
حالا ما این همه مقدمه گفتیم تا بالاخره برسیم به تعریف انتگرال معین
انتگرال معین
اگر تابع [math]f[/math] در بازه بسته [math][a,b][/math] تعریف شده باشد و حد مجموع ریمان این تابع
[math]\mathop {\lim }\limits_{||\Delta || \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {f(c{}_i)\Delta {x_i}}[/math]
موجود باشد ، آنگاه می گوییم تابع [math]f[/math] در این بازه [math][a,b][/math] انتگرال پذیر است و انتگرال آن به صورت زیر محاسبه می شود:
[math]\mathop {\lim }\limits_{||\Delta || \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {f(c{}_i)\Delta {x_i}} = \int_a^b {f(x)dx}[/math]
به این می گویند انتگرال معین تابع [math]f[/math] از a تا b .
قضیه : اگر تابع [math]f[/math] روی بازه [math][a,b][/math] پیوسته باشد .،آنگاه این تابع روی این بازه انتگرال پذیر است.
در واقع این قضیه به ما این اطمینان را می دهد که اگر تابع [math]f[/math] روی بازه [math][a,b][/math] پیوسته باشد آنگاه [math]\int_a^b {f(x)dx}[/math] موجود است.
تمرین 2: [math]\int_{ – 3}^5 {(1 + 2{x^2})dx}[/math] را حساب کنید.
شکل این نمودار به صورت زیر است:
اینجا ما چهارتا بازه مساوی [math][ – 3, – 1],[ – 1,1],[1,3],[3,5][/math] در نظر می گیریم نقاط وسط این بازه ها :
[math]{c_i} = \{ – 2,0,2,4\}[/math]
پس با توجه به اینکه 4 بازه داریم و نقاط وسط بازه ها را بدست آوریم پس جمع ریمان به صورت زیر است :
[math]S = \sum\limits_{i = 1}^4 {f\left( {{c_i}} \right)\Delta x} \\\Delta x = 2[/math]
پس خواهیم داشت :
[math]S = \int\limits_{ – 3}^5 {\left( {1 + 2{x^2}} \right)dx} = \sum\limits_{i = 1}^4 {f\left( {{c_i}} \right)\Delta x} \\ = f\left( { – 2} \right)\Delta x + f\left( 0 \right)\Delta x + f\left( 2 \right)\Delta x + f\left( 4 \right)\Delta x\\ = 2\cdot\left( {9 + 1 + 9 + 33} \right) = 104[/math]
تمرین 3: انتگرال معین [math]\int_{ – 2}^1 {2xdx}[/math] را حساب کنید.
تابع [math]f(x)=2x[/math] بر بازه بسته [math][-2,1][/math] انتگرال پذیر است چون در این بازه پیوسته است .
اکنون این بازه را به n قسمت تقسیم می کنیم :
[math]\Delta {x_i} = \Delta x = \frac{{b – a}}{n} = \frac{3}{n}[/math]
نقطه [math]{c_i}[/math] را می توان نقطه انتهایی بازه (سمت راست) انتخاب کرد :
[math]{c_i} = a + i\Delta x = – 2 + \frac{{i3}}{n}[/math]
پس انتگرال ما به صورت زیر محاسبه خواهد شد(با استفاده از جمع ریمان) :
[math]\int_{ – 2}^1 {2xdx} = \mathop {\lim }\limits_{||\Delta || \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n f ({c_i})\Delta {x_i}\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n f ({c_i})\Delta {x_i}\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {2\left( { – 2 + \frac{{i3}}{n}} \right)} \left( {\frac{3}{n}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{6}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( { – 2 + \frac{{3i}}{n}} \right)} \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{6}{n}\left( { – 2\sum\limits_{i = 1}^n {1 + \frac{3}{n}\sum\limits_{i = 1}^n i } } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{6}{n}\left\{ { – 2n + \frac{3}{n}\left[ {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right]} \right\}\\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – 12 + 9 + \frac{9}{n}} \right) = – 3[/math]
تمرین 4: انتگرال معین [math]\int_0^1 {(1 – {x^2})dx}[/math] را حساب کنید.
این تابع در بازه داده شده پیوسته است پس انتگرال پذیر است اکنون بازه بسته [math][0,1][/math] را به n می کنیم .
[math]\Delta x = \frac{1}{n}[/math]
[math]{c_i} = a + i\Delta x = 0 + i\cdot\frac{1}{n} = \frac{i}{n}[/math]
[math]f\left( {{c_i}} \right) = 1 – x_i^2 = 1 – {\left( {\frac{i}{n}} \right)^2} = \frac{{{n^2} – {i^2}}}{{{n^2}}}[/math]
محاسبه انتگرال
[math]\int_0^1 {(1 – {x^2})dx} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{c_i}} \right)\Delta x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{n^2} – {i^2}}}{{{n^2}}}} = \frac{1}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{n^2} – {i^2}} \right)} = \frac{1}{{{n^3}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{n^2}} – \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} } \right)[/math]
ساده سازی
[math]\sum\limits_{i = 1}^n {{n^2}} = {n^2}\sum\limits_{i = 1}^n 1 = {n^2}.n = {n^3}\\\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}[/math]
در عبارت قبل جایگزاری می کنیم:
[math]= \frac{1}{{{n^3}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{n^2}} – \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} } \right) = \frac{1}{{{n^3}}}\left( {{n^3} – \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}} \right)\\ = \frac{1}{{{n^3}}}\cdot\frac{{4{n^3} – 3{n^2} – n}}{6} = \frac{{4{n^2} – 3n – 1}}{{6{n^2}}}[/math]
و سرانجام حاصل انتگرال ما :
[math]= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4{n^2} – 3n – 1}}{{6{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4 – \frac{3}{n} – \frac{1}{{{n^2}}}}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}[/math]